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时间：2019-07-29
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1、§2.连带勒让德函数一、连带勒让德方程本征值问题及其解当u=u(r,,φ)不具有旋转对称性时，经变量分离后()所满足的方程为连带勒让德方程①①为连带勒让德方程的本征值问题—本征值，m2——是的本征值设x=cos，则①又可表达为：②将方程变成二阶常微分方程的标准形式：
2、x
3、<1内解析定理保证连带勒让德方程在
4、x
5、<1内一定有解析解利用已知勒让德方程的解来求连带勒让德方程的解设：代入②中方程，整理得：③则一定是③的解可以证明：若(x)是勒让德方程的解，即：证明：用数学归纳法m=0时，③式变为就是勒让德方程，即：设m=n时结论是正确的：整理得：(n+1)(
6、x)是③的解《证毕》求导一次：⑤(x)(n)(x)=v(x)解的收敛性：1）
7、x
8、<1⑤式收敛2）x=±1≠l(l+1),y0,y1均发散→y(x)发散=l(l+1),l=偶数，y0(x)收敛，y1(x)发散l=奇数，y1(x)收敛，y0(x)发散②的解为：注：1）－m阶l次连带勒让德函数－l次勒让德函数的m阶导数是m=0时的连带勒让德函数当m>l时，2）是l次多项式3)x=cos①的解可写为4)前几阶次的连带勒让德函数二、连带勒让德函数的性质1.的微分表达式2.的正交归一性3.由连带勒让德方程可知：m→-m方程不变可推测：是解，则也一定是解3.即：与是
9、线性相关的三、应用举例①解：设u＝R(r)()()代入①中方程及有关边条件②得：③和解②得：解③得：④和解④得：迭加特解得通解：代入边条件定解：其中：由以上三式给出
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