《二重积分的计算》ppt课件

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1、*三、二重积分的换元法第二节一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分机动目录上页下页返回结束二重积分的计算法第十章一、利用直角坐标计算二重积分且在D上连续时,由曲顶柱体体积的计算可知,若D为X–型区域则若D为Y–型区域则机动目录上页下页返回结束当被积函数均非负在D上变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效.由于机动目录上页下页返回结束说明:(1)若积分区域既是X–型区域又是Y–型区域,为计算方便,可选择积分序,必要时还可以交换积分序.则有(2)若积分域较复杂,可将它分成若干X-型域或Y-型域,则

2、机动目录上页下页返回结束例1.计算其中D是直线y＝1,x＝2,及y＝x所围的闭区域.解法1.将D看作X–型区域,则解法2.将D看作Y–型区域,则机动目录上页下页返回结束例2.计算其中D是抛物线所围成的闭区域.解:为计算简便,先对x后对y积分,及直线则机动目录上页下页返回结束例3.计算其中D是直线所围成的闭区域.解:由被积函数可知,因此取D为X–型域:先对x积分不行,机动目录上页下页返回结束注意:(1)凡遇等不能用初等函数表示原函数的积分，均须更换积分次序.但在更换积分次序时，必须先(2)有些二次积分为了积分方

3、便,还需交换积分顺序.画出积分区域D的图形，再根据积分次序的要求，重新写出D的边界方程.机动目录上页下页返回结束例4.交换下列积分顺序解:积分域由两部分组成:视为Y–型区域,则机动目录上页下页返回结束yx11o−1−1例5.解：如图机动目录上页下页返回结束yx11o−1−1机动目录上页下页返回结束例6.计算其中D由所围成.解:令(如图所示)显然,机动目录上页下页返回结束练习题1解：或机动目录上页下页返回结束14解：因的原函数积不出来，按先对y后对x的积分次序无法计算出结果,故须改变积分次序.xyO11由题意知

4、其X―型区域为：是Y―型区域.另解:利用分部积分公式,令则有练习题2机动目录上页下页返回结束15注：当积分区域D是一矩形且:时，则二重积分机动目录上页下页返回结束16则证：练习题3机动目录上页下页返回结束17机动目录上页下页返回结束18xyOy=x2−1−2xy1o−12例8.解:如图解:如图例7.机动目录上页下页返回结束xy1o−12机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束例9.计算其中解：由于的原函数无法用初等函数表示，所以无论按先对y后对x还是先对x后对y的积分次序，都无法计算出结果,故须考虑其

5、它方法计算.我们注意到，直角坐标与极坐标的关系：而且用极坐标表示圆域简单，比如二、利用极坐标计算二重积分在极坐标系下,用同心圆r=常数则除包含边界点的小区域外,小区域的面积及射线=常数,分划区域D为机动目录上页下页返回结束(1)“大化小”机动目录上页下页返回结束对应有在内取点(2)“常代变”(3)“近似和”(4)“取极限”即机动目录上页下页返回结束注:当二重积分的积分区域D的边界曲线用极坐标表示比较方便(如D为圆形、环形、扇形等)或被积函数用极坐标变量r,θ表示比较简单(如被积函数为极坐标系计算二重积分也要

6、化为等)时,我们通常采用极坐标来计算二重积分.而用二次积分来计算.根据积分区域的形状可分为下列两种方法计算二重积分.(1)极点在区域的边界之外：即设则机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束(2)极点在区域的边界之内：即若f≡1则可求得D的面积思考:下列各图中区域D分别与x,y轴相切于原点,答:试问的变化范围是什么?(1)(2)机动目录上页下页返回结束解：积分区域如图例9.写出积分的极坐标二次积分形式，其中积分区域为所以圆的方程为r=1直线的方程为在极坐标下机动目录上页下页返回结束例10.计算其中解

7、:在极坐标系下原式的原函数不是初等函数,故本题无法用直角由于故坐标计算.机动目录上页下页返回结束注:利用例10可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式事实上,当D为R2时,利用例10的结果,得①故①式成立.机动目录上页下页返回结束例11.计算二重积分其中积分区域为解：积分区域如图.由对称性，可只考虑第一象限部分，即机动目录上页下页返回结束xo解:积分区域D如图所示,则D的边界曲线方程为r=2cosθ.y例12.机动目录上页下页返回结束θDxyoθ解:在直角坐标系下积分区域D如图所示,1显然区

8、域D为扇形,则将其转换为极坐标形式.例13.机动目录上页下页返回结束例14.求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积.解:设由对称性可知机动目录上页下页返回结束定积分换元法*三、二重积分换元法满足一阶导数连续;雅可比行列式(3)变换则定理:变换:是一一对应的,机动目录上页下页返回结束证:根据定理条件可知变换T可逆.用平行于坐标轴的直线分割区域任取其中一个小矩形,其顶点为通过变换T,在xoy面