§2.3n阶行列式的定义

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1、§2.3n阶行列式的定义问题：如何定义n阶行列式？、二阶与三阶行列式的构造特点：（1）二阶行列式是一个含有项的代数和；（2）每一项都是两个元素的乘积，这两个元素既位于不同的行，又位于不同的列，并且展开式恰好是由所有这些可能的乘积组成；（3）任意项中每个元素都带有两个下标，第一个下标表示元素所在行的位置，第二个下标表示该元素所在列的位置。当把每一项乘积的元素按行指标排成自然顺序后，每一项乘积的符号由这一项元素的列指标所成的排列的奇偶性决定，奇排列取负号，偶排列取正号。对三阶行列式也有相同的特点特点：（1）共有3！项的代数和；（2）每一项是三个元素的乘积，这

2、三个元素既位于不同的行又位于不同的列，展开式恰由所有这些可能的乘积组成；（3）当把每一项乘积的元素按行下标排成自然顺序后，每一项的符号由这一项元素的列指标所成的排列的奇偶性决定。二、n阶行列式的定义1、为一个n阶行列式，它等于所有取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和，这里是的一个排列。每一项中把行下标按自然顺序排列后，其符号由列下标排列的奇偶性决定。当偶排列时取正号，当是是奇排列时取负号，即根据定义可知：n阶行列式共由n!项组成；要计算n阶行列式，首先作出所有可能的位于不同行不同列元素构成的乘积；把构成这些乘积的元素的行下标排成自然顺序，其符号由列下标

3、所成排列的奇偶性决定；n阶行列式的定义是二、三阶行列式的推广。2、例子例2.3.1：计算行列式例2.3.2：计算行列式例2.3.3：用行列式定义计算例2.3.4：设问：是不是四阶行列式的项？如果是，应取何符号？是，取符号：-1是，取符号：-1例2.3.5：设问：（1）dhsy与ptaz是否为的项？应取何符号？（2）含有t的项有多少？（6项）注：在一个行列式中，通常所写的元素本身不一定有下标，即使有下标，其下标也不一定与这个元素本身所在的行与列的位置完全一致。因此要确定一项的符号，必须按照各元素在行列式中实际所在的行与列的序数计算。在一般情况下，把n阶行列

4、式中第i行与第j列交叉位置上的元素记为在行列式中，从左上角到右下角这条对角线称为主对角线定理2.3.1在n阶行列式中，项所带的符号是证明：1、交换项—(1)中任两个元素与的位置，不改变把（1）中与对换后得—(2)由于对换改变排列的奇偶性,故与与的奇偶性互化，2、逐次交换（1）中的元素的次序，可以把（1）化为故—(3)+与有相同的奇偶性+的奇偶性。—（4）而（4）的行下标与列下标所成排列和的奇偶性与（3）相同，于是因此项所带的符号是注：本定理说明在确定行列式中某项应取的符号时，可以同时考虑该项行排列与列排列的反序数之和，而不一定要把行下标排成自然顺序。例2

5、.3.6：试确定四阶行列式中项的符号，写出四阶行列式中包含且取正号的所有项。解所带符号是:取正号的项包括，几种特殊的行列式：对角形行列式上三角行列式下三角行列式