[理学]华科数理方程课件第3章

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1、*1第三章行波法与积分变换法一、行波法基本思想：先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确定特解。这一思想与常微分方程的解法是一样的。特征方程为特征线为作特征线性变换由链式法则,有则原振动方程化简为*2此即为原方程的通解。利用初值条件确定函数F，G一维波动方程的达朗贝尔公式其中为任意一点，而C为积分常数，*3达朗贝尔解的物理意义右传播波(右行波)*4左传播波(左行波)把定解问题的解表示为左、右行进波相叠加的方法称为行波法。右传播波(右行波)*5解：将初始条件代入达朗贝尔公式，得例1求解初值问题*6影响区域、依赖区域、决定区域波动是以一定的速度a向两个方向

2、传播的。如果在初始时刻t＝0，扰动仅仅在有限区间上存在，则经过时间t后，扰动传到的范围为影响区域定义：上式所定义的区域称为区间的影响区域。*7定义:区间称为解在（x，t）的值的依赖区间。从达朗贝尔公式中可以看出，u(x,t)仅仅依赖于中的初始条件。依赖区间它是过（x，t）点，斜率分别为的直线与x轴所截而得到的区间（如右图）。*8过作斜率为的直线过作斜率为的直线则它们与区间一起围成的三角形区域中的任意一点(x,t)的依赖区间都落在区间内，因此该三角区域称为决定区域。决定区域特征线特征变换行波法又叫特征线法*9无界弦的强迫振动问题（非齐次问题的齐次化原理)

3、怎么求解此定解问题？利用叠加原理将问题进行分解：*10齐次化原理(Duhamel原理或冲量原理)设是问题的解，则是非齐次方程初值问题的解。齐次化原理的证明需要用到含参变量积分的求导公式。*11下面来求解定解问题令利用达朗贝尔公式可得则以上定解问题化为：即于是定解问题的解为*12从而原定解问题的解为一维非齐次波动方程的基尔霍夫(Kirchhoff)公式。例2求解定解问题解:由Kirchhoff公式，定解问题的解为于是原定解问题的解为*13例3求解定解问题解:特征方程作特征变换：两族特征线：于是，原方程的通解为：其通解为：*14例4求解Goursat问题解

4、：作特征变换其中的通解为：*15傅立叶变换的性质微分性平移性积分性相似性傅立叶变换的定义偏微分方程变常微分方程二、积分变换法*16拉普拉斯变换的性质微分性拉普拉斯变换的定义偏微分方程变常微分方程*17例1求解定解问题解：利用傅立叶变换的性质，有达朗贝尔公式*18无限长杆上热传导方程初值问题的积分变换法例2解定解问题解：利用傅立叶变换的性质于是原定解问题的解为*19例3解定解问题解：对x求傅氏变换对t求拉氏变换无限长杆上热传导方程初值问题的积分变换法*20*21例4解定解问题解：对t求拉氏变换半无限长杆上初值问题的拉普拉斯变换法误差函数和余误差函数*22

5、例5求方程满足边界条件解法一(通解法)：解法二：对y求拉氏变换的解。*23*23上半平面上拉普拉斯方程的积分变换法考虑狄利克雷问题关于x作傅里叶变换，得求解以上二阶常微分方程的定解问题，得利用傅里叶逆变换公式以及傅里叶变换的性质，得原定解问题的解为*24积分变换法求解定解问题的步骤对方程的两边做积分变换将偏微分方程变为常微分方程对定解条件做相应的积分变换，导出新方程的定解条件对常微分方程，求出解的表达式对常微分方程的解取相应的逆变换，得到原定解问题的解积分变换法求解问题的注意事项如何选取适当的积分变换定解条件中哪些需要作积分变换，哪些不需作积分变换如何

6、取逆变换思考利用积分变换方法求解问题的好处是什么？*25三、三维波动方程的柯西问题球对称情形所谓球对称是指与无关，则波动方程可化简为*26这是关于v=ru的一维半无界波动方程的定解问题.*27一般情形:球面平均法从物理上看，波具有球对称性。从数学上看，总希望把高维化为一维情形来处理，并设法化为可求通解的情况。所谓球面平均法，即对空间任一点（x，y，z），考虑u在以（x，y，z）为球心，r为半径的球面上的平均值其中为球的半径的方向余弦，*28如把x,y,z看作参变量，则是r，t的函数，若能求出，再令则为此把波动方程的两边在以x，y，z为中心，r为半径的球

7、体内积分，并应用Gauss公式，可得（*1）同时有由（*1）(*2)可得（*2）*29关于r微分，得（3）利用球面平均值的定义,(3)可写成（4）(4)又可改写为的通解为令r＝0,有关于r微分，于是，有（6）接下来，求满足初值的解。对（5）关于t微分，（7）代入上式，得（5）（6）和（7）相加即得*30即把代入上式，得从而有Poisson公式于是，三维波动方程初值问题的解为*31四、二维波动方程的降维法如果我们把上述问题中的初值视为降维法由高维波动方程的柯西问题的解来求解低维波动方程柯西问题的方法.由Hadamard最早提出的。则其解满足计算上述曲面积

8、分。由于初始数据与第三个变量无关，因此，在上的球面积分可由在圆域上的积分得到。*32因此利用极