向量组的极大线性无关组(II)

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1、§3.4向量组的极大线性无关组二、向量组的秩一、极大线性无关组的概念三、如何求向量组的极大无关组及线性组合关系一、极大线性无关组的概念上一节讨论了向量组的线性相关与线性无关的概念，其中线性无关也称为线性独立。系数及右端项构成行向量，则线性相关与线性无关的概念实反映了线性方程组中各个方程是否关联或是否独立。本节将讨论如果一个给定的向量组线性相关，那么，(1)该向量组中到底有多少个向量是独立的？(2)具体哪些向量是独立的？(3)其余的向量是如何由这些独立向量组合出来的？如果以线性方程组中各方程的一、极大线性无关组的概念定义如果向量组

2、中的一个部分组满足:(1)线性无关；(2)向量组中的每一个向量都可由线性表示，(即在中再加一个向量就相关.)则称为的(一个)极大线性无关组。则是一个极大线性无关组；等都是极大线性无关组。由此可见，一个向量组的极大线性无关组不是惟一的。需要讨论的问题(1)一个向量组中各极大线性无关组的向量个数是否惟一？(2)如何求出向量组的一个极大线性无关组？如何将其余的向量表示为极大线性无关组的线性组合？设有两个向量组1.向量组之间的线性表示定义若向量组(Ⅱ)中的每个向量都能由向量组(I)线性表示，则称向量组(Ⅱ)能由向量组(I)线性表示。此时

3、，对每个向量使得存在数二、向量组的秩若记即有其中n为向量的维数。则所谓的向量组(Ⅱ)能由向量组(I)线性表示意味着使得存在矩阵1.向量组之间的线性表示二、向量组的秩1.向量组之间的线性表示二、向量组的秩例如设向量组能由线性表示：则有1.向量组之间的线性表示定理设向量组可由线性表示，二、向量组的秩则向量组线性相关。若换句话说，若线性无关，则证明(略)*推论n+1个n维向量一定线性相关。基本向量线性表示因为任何n维向量都可由n维上述定理的直观解释（仅以为例）(1)设由两个向量构成的向量组，通过线性组合得到三个向量显然，即使是线性独立

4、的，也不可能线性组合出三个性线独立的向量；更何况本身可能是线性相关的。因此，向量组必然是线性相关的。(2)特别地，若“代表”某方程组中的两个方程，显然，通过线性组合不可能得到更多的独立方程。1.向量组之间的线性表示2.向量组之间的等价定义若向量组与向量组能够相互线性表示，此时,若记其中n为向量的维数。则存在矩阵和使得二、向量组的秩任何一个向量组与它的极大线性无关组是等价的。例如则称这两个向量组等价。1.向量组之间的线性表示二、向量组的秩性质(1)反身性，(2)对称性，(3)传递性，即向量组自己与自己等价；若与等价，(I)(Ⅱ)则

5、与等价；(I)(Ⅱ)若与等价，且与等价，(Ⅲ)(I)(Ⅱ)(Ⅱ)则与等价。(I)(Ⅲ)2.向量组之间的等价1.向量组之间的线性表示二、向量组的秩定理两个等价的向量组中各自的极大线性无关组所含的向量2.向量组之间的等价个数相等。证明等价等价等价等价向量组极大线性无关组向量组极大线性无关组1.向量组之间的线性表示二、向量组的秩定理两个等价的向量组中各自的极大线性无关组所含的向量2.向量组之间的等价个数相等。证明即可由线性表示，因此同理即得且线性无关，1.向量组之间的线性表示二、向量组的秩推论(1)若两个线性无关的向量组等价，则它们所

6、含的向量2.向量组之间的等价个数相等。(2)在一个给定的向量组中，各个极大线性无关组所含的向量个数相等。组的向量个数是惟一的。即一个向量组中各极大线性无关1.向量组之间的线性表示2.向量组之间的等价二、向量组的秩定义一个向量组中的极大线性无关组所含的向量个数称为3.向量组的秩向量组的秩。结论等价的向量组秩相等。1.向量组之间的线性表示2.向量组之间的等价3.向量组的秩二、向量组的秩4.向量组的秩与矩阵秩的关系设定理4.向量组的秩与矩阵秩的关系二、向量组的秩的秩则的秩。通常说，矩阵的秩等于行秩等于列秩(行秩)(列秩)此定理给出了一

7、种求向量组的秩的方法。证明(1)首先证明一个引理：化为标准形000其中000可逆矩阵P和使得事实上，对于矩阵下面利用反证法证明可逆矩阵P和使得若列向量线性无关，则存在0000000即一定存在假设则有0由Q可逆，有不全为零，这与线性无关矛盾，因此引理成立。证明(1)首先证明一个引理：可逆矩阵P和使得若列向量线性无关，则存在00证明它的一个极大线性无关组为则存在可逆0记为000(2)设由矩阵A的列构成的向量组的秩为s，对矩阵根据引理一定存在可逆阵和使得矩阵R，使得000即得的秩.进一步有的秩.4.向量组的秩与矩阵秩的关系二、向量组的

8、秩推论设A为m×n阶矩阵，且则有(1)当r=m时，A的行向量线性无关，当r