向量组的极大线性无关组1

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1、§2.4向量组的极大线性无关组第二章n维列向量§2.4向量组的极大线性无关组一.定义如果向量组1,2,…,s的部分组满足以下条件:,…,i1,i2ir线性无关;,…,i1(1),i2ir(2)1,2,…,s中任一向量都可由线性表示,,…,i1,i2ir极大线性无关组(maximallinearlyindependentsubset).为1,2,…,s的一个,…,i1则称,i2ir§2.4向量组的极大线性无关组第二章n维列向量二.有关结论定理2.5.秩为r的向量组1,2,…,s一定有由r个向量构成的极大无

2、关组.命题2.1.秩为r的向量组中任何r个线性无关的向量都构成它的一个极大无关组.§2.4向量组的极大线性无关组第二章n维列向量定理2.6.一个向量组的任何两个极大无关组都是等价的,因而任意两个极大无关组所含向量的个数都相同,且等于这个向量组的秩.命题2.2.一个向量组与它的任何一个极大无关组都是等价的.§2.4向量组的极大线性无关组第二章n维列向量三.计算理论依据:(1)命题2.1(2)定理1.11(初等变换不改变矩阵的秩).例2.8.已知向量组1,2,3线性无关,求12,23,31的一个极大无关组.§2.4向量组的极大线性

3、无关组第二章n维列向量列向量组相关计算问题1.求向量组的秩：初等行变换化为行阶梯形，行阶梯形的非零行数等于矩阵的秩，等于行（列）向量组的秩。2.判断向量组的线性关系：初等行变换化为行阶梯形，判断秩与向量个数的大小，秩小于个数，向量组线性相关，秩等于个数，向量组线性无关。初等行变换不改变列向量组之间的线性关系。§2.4向量组的极大线性无关组第二章n维列向量3.求向量组的一个极大线性无关组：初等行变换化为行阶梯形，原矩阵中与行阶梯形非零行非零首元所在的列相同位置的几个列向量一定4.用极大无关组线性表示其余向量：初等行变换化为行最简形，依3方法找到一组极大无关

4、组，在行最简形中将非零首元不在列分别由非为一个极大线性无关组。个数和秩相同。零首元所在列线性表示，再将表达式转换到原向量组中即可。§2.4向量组的极大线性无关组第二章n维列向量例2.9设A=32050323612015316414,求A的列向量组的一个极大无关组.16414043110004100000解:A=32050323612015316414初等行变换可见A的第1,2,4列构成A的列向量组的一个极大无关组.例2.10已知参数a,b互异，求向量组的极大无关组解：由于三个2维向量一定线性相关，故三个向量线性相关。又因为a

5、,b互异，故从而线性无关。因此这个向量组的秩为2，且是所要求的极大无关组。