向量组的秩和极大线性无关组1

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1、等价向量组向量组的极大线性无关组向量组的秩第三节向量组的秩和极大线性无关组为此，研究向量组的极大线性无关组，并引入向量组的秩。但这两个问题的研究，必须介绍等价向量组的概念。2.向量组a1a2am线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵A(a1a2am)的秩小于向量个数m向量组线性无关的充分必要条件是R(A)m一、引言1.设向量组Aa1a2am线性无关而向量组Ba1a2amb线性相关则向量b必能由向量组A线性表示且表示式是唯一的由以下命题可见：1.向量组

2、中的线性无关的部分组可以表示组中的向量；2.向量组的线性相关性可以由它所构成的矩阵的秩来研究注bjk1ja1k2ja1kmjam(j12l)1.定义若向量组Bb1b2bl中的每个向量都能由向量组Aa1a2am线性表示则称向量组B能由向量组A线性表示若向量组B组能由向量组A线性表示则存在矩阵K(kij)使矩阵K称为这一线性表示的系数矩阵若向量组A与B能相互表示则称这两个向量组等价二、向量组的等价性B=AK若CAB则(1)矩阵C的列向量组能由矩

3、阵A的列向量组线性表示(2)矩阵C的行向量组能由矩阵B的行向量组线性表示若向量组B组能由向量组A线性表示则存在矩阵K(kij)使一般地，2.等价的向量组的性质：（1）自反性：向量组与其自身等价；（2）对称性：若向量组（I）等价于（II），则向量组（II）等价于（I）；（3）传递性：若向量组（I）等价于（II），向量组（II）等价于（III），则向量组（I）等价于（III）.设有向量组A如果在A中能选出r个向量a1a2ar满足(1)向量组A0a1a2ar线性无关(2)向量组A中任

4、一向量都可由A0线性表示那么向量组A0称为向量组A的一个极大线性无关组。三、向量组的极大线性无关组1.定义2.等价定义(1)向量组A0a1a2ar线性无关(2)向量组A中任意r1个向量都线性相关那么向量组A0称为向量组A的一个极大线性无关组。我们知道n维单位坐标向量构成的向量组Ee1e2en是线性无关的例1全体n维向量构成的向量组记作Rn求Rn的一个极大无关组及Rn的秩解因此向量组E是Rn的一个极大无关组。又知Rn中的任意n1个向量都线性相关显然Rn的最大无关组很多任

5、何n个线性无关的n维向量都是Rn的极大无关组（1）只含零向量的向量组没有极大无关组规定它的秩为0（3）向量组的极大无关组一般不是唯一的。例如a1(111)Ta2(025)Ta3(247)T因为a1a3和a2a3都是线性无关组而a1a2a3线性相关所以a1a3和a2a3都是向量组a1a2a3的极大无关组3.性质（2）一个线性无关向量组的极大线性无关组是向量组本身.一个向量组的极大线性无关组一般不唯一，但是这些极大线性无关组都含有相同个数的向量.》》》》(4)若向量组A

6、a1a2ar能够由向量组Bb1b2bs线性表示且Aa1a2ar线性无关，则r≤s.(4)*若向量组Aa1a2ar能够由向量组Bb1b2bs线性表示且r>s,则Aa1a2ar线性相关.（5）一个向量组的极大线性无关组之间彼此等价并与向量组本身等价；而且一个向量组的所有极大线性无关组所含向量的个数相等.三、向量组的秩1.定义向量组的极大无关组所含向量的个数称为向量组的秩.2.性质等价的向量组有相同的秩.事实上，由于向量组的极大无关组与向量

7、组等价，由等价的传递性，等价向量组的极大线性无关组等价，故有之。3.矩阵的行秩和列秩（1）定义（2）性质行向量组的秩列向量组的秩。设A(a1a2am)R(A)r并设r阶子式Dr0由Dr0，知Dr所在的r行线性无关（否则其中一行必可以由其他行线性表示，则该行通过行的消法变换必可化为零行，此时Dr＝0）又由A中所有r1阶子式均为零知A中任意r1个行向量都线性相关（否则若A中存在某r1个行向量线性无关，则通过行变换，其中任一行必不能化为零行，即A的阶梯型中存在着r+1个非零行，即R(A)

8、>r）因此Dr所在的r行是A的行向量组的一个极大无关组所以A的行向量组的秩等于r类似可证矩阵A的列向量组的秩也等于R(A)矩阵的秩等于它的行向量组的秩也等于它的列向量组的秩证明即A的行向量组的极大无关组所含向量的个数等于即A的秩由上述证明可知若Dr是矩阵A的一个最高阶非零子式则Dr所在的r列即是A的列向量组的一个极