向量组的秩和极大线性无关组.ppt

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1、引子:线性相关组中含有线性无关的部分向量组.第二节向量组的极大无关组与秩定义（等价）：一、等价向量组性质：自反性对称性传递性1定理：推论1：推论2：2二、向量组的极大线性无关组与向量组的秩定义（极大线性无关组）注1、条件（2）表示2、只有零向量构成的向量组没有极大无关组推论3：设T是由n维向量所组成的向量组，则（1）T的每个极大线性无关组与之等价（2）T的任意两个极大线性无关组所含向量的个数是相同的。3例如：对于向量组T：1=(1,2,－1),2=(2,－3,1),3=(4,1,－1)1,2为T的一个最大无关

2、组;2,3;1,2,3线性相关，因为21+2－3=01,3也是T的最大无关组。极大无关组是唯一吗？4定义（秩）(可以理解为向量组中含有有用信息的个数,)推论4：推论6：推论5：等价的向量组有相同的秩。5定理(不要掌握,但要知道有这么回事)：推论7：如果一矩阵列向量组的秩是r，那矩阵的秩为r.推论8：Problem:如何求向量组的秩和极大线形无关组?见Ｐ94页6定理(掌握（１）)（1）若矩阵A经有限次初等行变换变成矩阵B，则A,B的行向量组等价；而A的任意k个列向量与B中对应的k个列向量有相同的线性相

3、关性。（2）若矩阵A经有限次初等列变换变成矩阵B，则A,B的列向量组等价；而A的任意k个行向量与B中的对应的k个行向量有相同的线性相关性。789事实上1011例(掌握)求向量组的极大无关组，并用极大无关组表示该向量组的其他向量。做矩阵然后对A进行初等行变换，化成行阶梯形（或行最简形）矩阵，～＝B可以发现，是矩阵B的列向量组解：极大线形无关组12又∵即：从而～＝B13推论9(结论要记住)14三、思考题1、求下列向量组的秩，并求其最大线性无关组：2、一个向量组的秩是否确定？其极大无关组是否唯一？15求法1、2、对A进行初等

4、行变换，直至阶梯形矩阵A'3、A的秩r即为所求，再找一个r阶非零子式（取拐角1所在的列），对应的向量构成一个极大线性无关组。16