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时间:2019-07-14
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1、第3.4节向量组的极大线性无关组线性代数主要内容:一.等价向量组二.向量组的极大线性无关组三.向量组的秩与矩阵秩的关系一、等价向量组定义1:如果向量组中的每一个向量都可以由向量组线性表示,那么就称向量组A可以由向量组B线性表示。若同时向量组B也可以由向量组A线性表示,就称向量组A与向量组B等价。即(1)自反性:一个向量组与其自身等价;(2)对称性:若向量组与等价,则和等价;(3)传递性:与等价,与等价,则与等价。向量组的等价关系具有以下三个性质:定理1:设与是两个向量组,如果(2)则向量组必线性相关。推论1:如果
2、向量组可以由向量组线性表示,并且线性无关,那么(1)向量组线性表示;可以由向量组推论2推论3等价的线性无关向量组所含向量的个数相等。任意m(m>n)个n维向量必线性相关.二、向量组的极大线性无关组定义2:注:(1)只含零向量的向量组没有极大无关组.简称极大无关组。对向量组A,如果在A中有r个向量满足:线性无关。(1)那么称部分组为向量组的一个极大线性无关组。(2)一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身。(2)A中的任一向量都能由线性表示。例1:在向量组中,首先线性无关,又线性相关,所以组成的部分组是极大无关组。还
3、可以验证也是一个极大无关组。注:一个向量组的极大无关组一般不是唯一的。基本性质:一个向量组的任意两个极大无关组等价,且所含向量的个数相同。定理2:任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。性质1:向量组的任意两个极大无关组都是等价的。性质2:例1:在向量组中,首先线性无关,又线性相关,所以组成的部分组是极大无关组。还可以验证也是一个极大无关组。(1)(2)三、向量组的秩与矩阵秩的关系定义3:向量组的极大无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩,记作例如:向量组的秩为2。1.向量组的秩注:(1)零向量组的秩为0。(2)
4、向量组线性无关向量组线性相关(3)如果向量组可以由向量组线性表示,则定理3等价的向量组有相同的秩。该逆命题不成立。但不等价。2.矩阵的秩2.1.行秩、列秩、矩阵的秩把矩阵的每一行看成一个向量,则矩阵可被认为由这些行向量组成,把矩阵的每一列看成一个向量,则矩阵可被认为由这些列向量组成。定义4:矩阵的行向量组的秩,就称为矩阵的行秩;矩阵的列向量组的秩,就称为矩阵的列秩。例2:讨论矩阵矩阵A的行向量组是的行秩和列秩(1)矩阵A的行秩为3是A的行向量组的一个极大无关组因为,由即可知即线性无关;而为零向量,包含零向量的向量组
5、线性相关,线性相关。所以向量组的秩为3,所以矩阵A的行秩为3。(1)矩阵A的行秩为3可证矩阵A的列向量组是可以验证线性无关,而所以向量组的一个极大无关组是所以向量组的秩是3,所以矩阵A的列秩是3。(2)矩阵A的列秩是3问题:矩阵的行秩=矩阵的列秩引理1:矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩。(列)(列)引理2:矩阵的初等行变换不改变矩阵的列秩。(列)(行)定理4:矩阵的行秩=矩阵的列秩证:任何矩阵A都可经过初等变换变为形式,而它的行秩为r,列秩也为r。又,初等变换不改变矩阵的行秩与列秩,所以,A的行秩=r=A的列秩定义
6、5:矩阵的行秩=矩阵的列秩,统称为矩阵的秩。记为r(A),或rankA,或秩A。综上,矩阵的初等变换不改变矩阵的行秩与列秩。推论1:矩阵A的初等行变换不改变矩阵A的列向量组的线性相关性和线性组合。推论2:n阶方阵A,即A为可逆矩阵(也称为满秩矩阵)A的n个行(列)向量线性无关A的n个行(列)向量线性相关推论3:1.求矩阵秩的方法:把矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵,则行阶梯形矩阵中非零行的行数就是原来矩阵的秩。例3:求A的秩。2.2矩阵的秩、向量组的秩、极大线性无关组的求法.由阶梯形矩阵有三个非零行可知2.求向量组
7、的秩、极大线性无关组的步骤.(1)向量组作列向量构成矩阵A。(2)初等行变换(行最简形矩阵)r(A)=B的非零行的行数(3)求出B的列向量组的极大无关组(4)A中与B的列向量组的极大无关组相对应部分的列向量组即为A的极大无关组。(根据见引理2)例4:向量组求向量组的秩和一个极大无关组。解:又因为B的1,2,5列是B的列向量组的一个极大无关组所以,是的一个极大无关组。考虑:是否还有其他的极大无关组?与例5:求向量组的一个极大无关组,并把其余向量用该极大无关组线性表示。解:设则B的1,2列为极大无关组,且所以为所求的一
8、个极大无关组,且2.3矩阵秩的性质(1)等价的矩阵,秩相同。(2)任意矩阵有(3)任何矩阵与可逆矩阵相乘,秩不变。可逆,有(4)当AB=0时,有(证明在习题课讲)
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