向量的极大线性无关组

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1、§4.3向量的极大线性无关组设向量组,其中至少有一个向量非零,则该向量组必有部分组为线性无关,也必定有一个部分组为线性无关且含有最多个数的向量。即有一个部分组，满足（1）线性无关；（2）若中还有向量不在该部分组中，则任取一个不在该部分组中的，即必有线性相关。这样的部分组，称为该向量组的极大线性无关组。问题1：一个向量组的极大线性无关组是否唯一？2：若极大线性无关组不唯一，则彼此有何关系？进一步研究向量组线性无关、线性相关的性质。定理：向量组线性相关中至少有一个向量是其余r-1个向量的线性组合。证明：设线性相关，则有不全为0，使不访设则中有某个可由其余r-1个向量线性表示，即有数：，

2、使得即线性相关。设则推论：线性无关中每一个向量都不能由其余r-1个向量线性表示。定理：若向量组线性无关，而向量组线性相关，则一定可由线性表示，且表示方式唯一。此时必有而线性无关，则必全为0，因而全部为0。矛盾。则证明：线性相关，则有不全为0的数使因为否则就有假设有两种表示法由线性表示，即则由线性无关，则即可由线性表示则定理：设向量组中每一个向量都可由向量组线性表示，若，则线性相关。证明：设又则设把上式看成是为变量的齐次线性方程组，其系数矩阵的秩小于等于，则必有非零解。即即有不全为零的数使因此线性相关。推论：设向量组中每个向量都可由线性表示，且线性无关，则。定义：若向量组中每个向量可

3、由向量组线性表示，则称向量组可由向量组线性表示。若两个向量组可以互相线性表示，则称这两个向量组等价。“等价”具有以下性质：（1）自反性：任一向量组与自身等价（2）对称性：若向量组（A）与向量组（B）等价，则（B）也与（A）等价；（３）传递性：若向量组（A）与向量组（B）等价，（B）又与向量组（C）等价，则（A）与（C）等价。利用前面定理与推论，立即可得：定理:任意两个等价的线性无关的向量组含有相同的向量个数。回头看前面的问题例：设有向量组可见　　　，或　　　或　　　均为极大线性无关组。因此极大线性无关组不唯一。现在来看问题２。首先，任意向量组与其极大线性无关组等价。则一个向量组的两

4、个极大线性无关组相互等价。进一步：一个向量组的两个不同极大线性无关组包含的向量个数相同。向量组的极大线性无关组所含向量个数称为向量组的秩。求向量组　　　　　的极大线性无关组与秩。例：设