函数的单调与曲线的凹凸

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1、第三章微分中值定理与导数的应用主讲人：张少强TianjinNormalUniversity计算机与信息工程学院第四节函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性曲线的上升和下降函数的凹凸性曲线的弯曲方向用一阶导数研究用二阶导数研究一、函数单调性的判定法yoxy＝f(x)若函数y＝f(x)在[a,b]上单调增加，则它的图形是一条沿x轴正向上升的曲线。ab则曲线上各点处切线的斜率是非负的，即若函数y＝f(x)在[a,b]上单调减少，则它的图形是一条沿x轴正向下降的曲线。ab则曲线上各点处切线的斜率是非正的，

2、即反之，若函数在某区间可导，能否用导数的符号来判定函数的单调性呢？答案是肯定的。√讨论：设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，在[a,b]上任取两点x1，x2（不妨设x1

3、-sinx在[0,2π]上的单调性.解：在区间[0,2π]上单调增加.注：若可导函数y=f(x)在区间内导数不恒大于0也不恒小于0，那我们就得将导数为0的点作为分界点，讨论其单调性.例2讨论函数的单调性.解：函数的定义域为先求定义域再求导数为零的点因为在内所以函数在上单调减少；因为在内所以函数在上单调增加.最后以导数为零的点为分界点按定理1讨论另外注意，有的函数也可能在所讨论的区间内有导数不存在的点.例3讨论函数的单调性.解：这函数的定义域为当x=0时，函数导数不存在.不存在导数为0的点.先求定义域

4、再求导数为0和导数不存在的点作为分界点xy在内，因此函数在上单调减少；在内，因此函数在上单调增加；讨论函数单调性的过程求f(x)的定义区间，且在每个定义区间上连续在定义区间内求导数为0的点和导数不存在的点为分界点用分界点划分定义区间,f′的符号就能在各个部分区间保持固定.研究各部分区间f′的单调性.例4确定函数的单调区间解：定义域为求导解方程两个根把分成三部分在在在例5讨论函数的单调性.解：先求定义域：再求导数为0（和导数不存在）的点：最后，在分界点讨论导数的符号：除了点x=0,其余各点均有在区间和

5、都是单调增加的.在整个定义域内是单调增加的.x-11说明：一般地如果f(x)在某区间内的有限个点处为零在其余各点处均为正(或负)时那么f(x)在该区间上仍旧是单调增加(或减少)的下面讨论：用函数的单调性证明不等式.若证明当有方法：令证明f(x)单调增加.若f(a)=0,则有f(x)>f(a)=0.例6证明因为当x>1时f(x)>0所以f(x)在[1)上f(x)单调增加因此当x>1时f(x)>f(1)=0即二、曲线的凹凸性与拐点函数曲线除了有升有降之外,还有不同的弯曲方向,

6、如何根据函数本身判断函数曲线的弯曲方向呢？曲线的凹凸性定义设f(x)在区间I上连续如果对I上任意两点x1x2恒有那么称f(x)在I上的图形是凹的那么称f(x)在I上的图形是凸的如果恒有观察与思考观察切线斜率的变化与曲线凹凸性的关系.>>>定理2(曲线凹凸性的判定法)设f(x)在[ab]上连续在(ab)内具有二阶导数.若在(ab)内f(x)>0则f(x)在[ab]上的图形是凹的若在(ab)内f(x)<0则f(x)在[ab]上的图形是凸的简要证明(1)由拉格朗日中

7、值公式得两式相加并应用拉格朗日中值公式得定理2(曲线凹凸性的判定法)设f(x)在[ab]上连续在(ab)内具有二阶导数.若在(ab)内f(x)>0则f(x)在[ab]上的图形是凹的若在(ab)内f(x)<0则f(x)在[ab]上的图形是凸的例7判断曲线ylnx的凹凸性因为在函数ylnx的定义域(0)内y<0所以曲线ylnx是凸的解例8判断曲线yx3的凹凸性解y3x2y6x由y0得x0.因为当x<0时y<0所以

8、曲线在(0]内是凸的因为当x>0时y>0所以曲线在[0)内是凹的设f(x)在[ab]上连续在(ab)内具有二阶导数.若在(ab)内f(x)>0则f(x)在[ab]上的图形是凹的若在(ab)内f(x)<0则f(x)在[ab]上的图形是凸的定理2(曲线凹凸性的判定法)拐点连续曲线yf(x)上凹弧与凸弧的分界点称为该曲线的拐点拐点讨论如何确定曲线yf(x)的拐点？如果(x0,f(x0))是拐点且f(x0)=0存