高等代数【北大版(1)

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1、第五章二次型§5.1二次型的矩阵表示§5.2标准形§5.3唯一性§5.4正定二次型章小结与习题一、复数域上的二次型的规范形二、实数域上的二次型的规范形三、小结§5.3唯一性§5.3唯一性问题的产生：1、二次型的标准形不是唯一的，与所作的非退化线性替换有关.如：二次型作非退化线性替换得标准形得标准形§5.3唯一性2、二次型经过非退化线性替换所得的标准形中，系数不为零的平方项的个数是唯一确定的，与所作的非退化线性替换无关.而秩(D)等于D的主对角线上不为零的元素的个数.∵若作非退化线性替换化为标准形，则有§5.3唯一性3.问题：如何在一般

2、数域P上，进一步“规范”平方项非零系数的形式？（这样产生了唯一性的问题）定义二次型的秩等于矩阵A的秩，即秩f＝秩（A）.§5.3唯一性、复数域上的二次型的规范形复二次型的规范形的定义标准形再作非退化线性替换设复二次型经过非退化线性替换可逆,得这里§5.3唯一性则称之为复二次型的规范形.§5.3唯一性注意：①复二次型的规范形中平方项的系数只有1和0两种.②复二次型的规范形是唯一的，由秩f确定.2.（定理3）任一复二次型经过适当的非退化线性替换可化为规范形，且规范形唯一.推论1.任一复对称矩阵A合同于对角矩阵推论2.两个复对称矩阵A、B合

3、同§5.3唯一性二、实数域上的二次型的规范形再作非退化线性替换实二次型的规范形的定义设实二次型经过可逆，得标准形非退化线性替换其中，r=秩f§5.3唯一性则称之为实二次型的规范形.§5.3唯一性①实二次型的规范形中平方项的系数只有1，－1，0.②实二次型的规范形中平方项的系数中1的个数与－1的个数之和=秩=秩(A)是唯一确定的.③规范形是唯一的.注意§5.3唯一性定理4任一实二次型可经过适当的非退化线性替换化成规范形，且规范形是唯一.证明：只证唯一性.2、惯性定理设实二次型经过非退化线性替换化成规范形（1）§5.3唯一性只需证（2）用

4、反证法，设由(1)、(2)，有经过非退化线性替换化成规范形（3）§5.3唯一性（4）则G可逆，且有考虑齐次线性方程组（5）§5.3唯一性方程组（5）中未知量的个数为n，方程的个数为所以（5）有非零解.令为（5）的非零解，则有而不全为0.将代入（3）的左端，得其值为§5.3唯一性同理可证，故.矛盾.所以，得将其代入（3）的右端，得其值为由及§5.3唯一性定义实二次型的规范形中正平方项的个数p称为的正惯性指数；称为的负惯性指数；负平方项的个数称为的符号差.它们的差§5.3唯一性推论1、任一实对称矩阵A合同于一个形式为其中的个数，+1的个数

5、的正惯性指数；－1的个数的负惯性指数.的对角矩阵.§5.3唯一性推论2、实二次型具有相同的规范形，且的正惯性指数=的正惯性指数.推论3、实对称矩阵A、B合同的正惯性且二次型指数相等.§5.3唯一性例1、设，证明：存在使又D´=D,且使即则令证：设则存在可逆矩阵§5.3唯一性例2、如果两实元二次型的矩阵是合同的，则认为上的一切元二次类.它们是属于同一类的，那么实数域型可分为则r的可能取值是0，1，2，…，n，指数p的可能取值是0，1，…，r，共种.的正惯性即有证：任取实n元二次型设而对任意给定的§5.3唯一性1种2种n＋1种故共有类.§

6、5.3唯一性三、小结基本概念这里，r＝秩(f).2、n元实二次型的规范形这里，＝秩(f)，p称为f的正惯性指数；称为f的负惯性指数；　　　称为符号差.1、n元复二次型　　　　　　　的规范形§5.3唯一性基本结论定理3任意一个复系数二次型，经过一适当的非退化线性变换可变成规范形，且规范形是唯一的.即，任一复对称矩阵A合同于一个对角矩阵推论两个复对称矩阵A、B合同§5.3唯一性定理4任意一个实二次型，经过一适当的非退化线性变换可变成规范形，且规范形是唯一的.即，任一实对称矩阵A合同于一个对角矩阵其中　的个数等于矩阵Ａ的秩.§5.3唯一性推

7、论两个实对称矩阵A、B合同的充要条件是正惯性指数相等.且二次型　　　与　　　的§5.3唯一性