两个向量的数量积(I)

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1、空间两个向量的数量积(一)一复习引入已知两个非零向量,作,则叫做向量的夹角.已知两个非零向量,它们的夹角为,我们把叫做向量的数量积,记做,即=.1向量的夹角:OAB2平面向量数量积:3平面向量数量积的性质4平面向量数量积的运算律（交换律）（分配律）（数乘结合律）二、提出问题将平面向量的数量积拓展到空间，将如何呢？Bqr6401@126.com三、概念形成概念1.空间两个向量的夹角实质上，由于空间两个向量一定是共面向量，所以，空间两个向量的夹角与平面向量的概念一样OABB已知两个非零向量,在空间任取一点O，作，则∠AOB叫做向量与的夹角

2、，记作：规定：Bqr6401@126.com三、概念形成概念1.空间两个向量的夹角显然，对于任意两个空间向量如果，则称两个向量互相垂直，记作由于空间任意两个向量一定共面，但是向量的基线不一定共面，我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线，把两条异面直线平移到一个平面内，这时两条直线的夹角(锐角或直角)叫做两条异面直线所成的角。如果所成角是直角，则称两条异面直线互相垂直。Bqr6401@126.com三、概念形成概念1.空间两个向量的夹角例子：如图，表示一个正方体，求下列各对向量的夹角：ABCDA1B1C1D1(1)(2)(3)

3、(4)Bqr6401@126.com三、概念形成概念2.两个向量的数量积已知空间两个非零向量,则叫做的数量积(内积)，记作,即注意:①两个向量的数量积是数量，而不是向量。②规定：零向量与任意向量的数量积等于零。由于任意两个空间向量是共面的，所以平面两个向量的数量积可以直接推广到空间。Bqr6401@126.com三、概念形成概念2.两个向量的数量积与平面向量数量积一样，两个空间向量的数量积有如下性质:例子：设求：Bqr6401@126.com三、概念形成概念2.两个向量的数量积两个空间向量的数量积同样满足下列运算律:(交换律)(分配律

4、)思考：吗？(2)对于向量，成立吗？证明请参阅课本87页Bqr6401@126.com四、应用举例例1.已知长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2，AD=4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点，计算下列数量积(1)(2)(3)ABCDA1B1C1D1Bqr6401@126.com四、应用举例例2.已知空间四边形OABC中，∠AOB=∠BOC=∠AOC，OA=OB=OC。M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点。求证：OG⊥BC。OABCMNG证明：说明：在空间证明两条直线垂直，利用向量的内积是一种常用方法。（向量

5、法证明垂直）Bqr6401@126.com四、应用举例例3.如图所示，在空间四边形OABCD中，OA=8，AB=6，AC=4，BC=5，∠OAC=45°，∠OAB=60°，求异面直线OA与BC所成角的余弦值。OABC8645利用向量求异面直线所成角时应注意，异面直线所成角的范围是与两向量夹角的范围不同。Bqr6401@126.com五、课堂练习思考?课本第88页，练习A，1，2，3Bqr6401@126.com六、课堂总结2.空间两个向量数量积的概念、性质、计算方法及运算律；1.两个空间向量的夹角和模的概念及其表示法；3.两个向量数量

6、积的主要用途：证明垂直、求异面直线所成角等。Bqr6401@126.com