有限单元法基础介绍

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1、有限单元法基础介绍南京农业大学工学院机械工程系问题的引出问题一：上图所示为一个悬臂梁，其中长度L=2000mm，高度H＝100mm，宽度B＝50mm，在力P＝1000N作用下，求该梁A点的挠度。已知:材料弹性模量E=2.0×1011Pa，泊松比为0.3。解答：根据材料力学公式，，其中，为矩形截面的惯性矩，代入已知条件，计算结果为：问题：7/17/2021南京农业大学工学院机械工程系有限元单元法简介有限单元法(FEM)是20世纪50年代以来随着计算机的广泛应用而发展起来的一种现代数值解法。该方法首先应用在连续力学领域——飞机结构静、动态特性分析中。随后很快就广泛应用于求解传导、电

2、磁场、流体力学等连续性问题。有限元分析是利用数学近似分析方法对真实物理系统（几何、载荷工况）进行模拟，利用简单而又相互作用的元素，即单元，用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。Definition历史典故结构分析的有限元方法是在二十世纪五十年代到二十世纪六十年代由一批学术界和工业界的研究者创立的。有限元分析理论现在已成为悬索桥和蒸汽锅炉进行手算评核的基础。7/17/2021南京农业大学工学院机械工程系有限单元法力学基础各力学学科分支的关系非变形体（刚体）变形体7/17/2021南京农业大学工学院机械工程系有限单元法几种典型的分析对象双向拉索悬索桥发动机有限元模型齿轮接触

3、有限元分析汽车碰撞实验模拟（福特）7/17/2021南京农业大学工学院机械工程系有限元单元法基本思想有限单元法的思想是将物体（连续体）离散成有限个按一定方式相互联结在一起的单元组合，来模拟或逼近原来的物体，从而将一个连续的无限自由度问题简化为离散的有限自由度问题求解的一种数值分析法。物体被离散后，通过对其中各个单元进行单元分析，然后再进行整体分析，最终得到整个物体的分析结果。Definition7/17/2021南京农业大学工学院机械工程系有限单元法的思路及技术路线以力学为基础，分析任意变形体的受力情况，运用数值近似分析方法，以计算机为工具进行分析计算，以获得该结构所有的力学信

4、息，并使得该方法能够普及、简单、高效、方便，一般工程技术人员熟练掌握后就可以使用。思路标准化（研究力学理论：任意复杂问题＝>标准化分解，单元建模>有限种标准单元类型）规范化（前处理：CAD几何、力学建模、求解、后处理显示）计算机程序化（标准程序、模块）应用的规模化、普及性（可求解大型计算问题108-1010DOF)技术路线7/17/2021南京农业大学工学院机械工程系物理系统举例物理系统几何体载荷结构热电磁7/17/2021南京农业大学工学院机械工程系有限元模型有限元模型是真实系统理想化的数学抽象。Definition真实系统有限元模型7/17/2021南京农业大学工学院机械工

5、程系有限元单元模型中几个重要概念单元网格划分中每一个小的块体节点确定单元形状、单元之间相互联结的点节点力单元上节点处的结构内力载荷作用在单元节点上的外力（集中力、分布力）约束限制某些节点的某些自由度弹性模量（杨式模量）E泊松比（横向变形系数）μ密度单元单元载荷节点节点力约束7/17/2021南京农业大学工学院机械工程系单元的自由度（DOFs）自由度(DOFs)用于描述一个物理场的响应特性。结构DOFs结构位移热温度电电位流体压力磁磁通参数自由度ROTZUYROTYUXROTXUZ7/17/2021南京农业大学工学院机械工程系节点和单元载荷、约束和力等信息是通过单元之间的公共节点

6、传递的。分离但节点重叠的单元A和B之间无法进行信息传递（需进行节点合并处理）具有公共节点的单元之间存在信息传递...AB........AB...1node2nodes7/17/2021南京农业大学工学院机械工程系节点和单元(续)节点自由度是随连接该节点单元类型变化的。JIIJJKLILKIPOMNKJIL三维杆单元(铰接)UX,UY,UZ三维梁单元二维或轴对称实体单元UX,UY三维四边形壳单元三维实体热单元TEMPJPOMNKJIL三维实体结构单元UX,UY,UZ,ROTX,ROTY,ROTZUX,UY,UZUX,UY,UZ,ROTX,ROTY,ROTZ7/17/2021南京

7、农业大学工学院机械工程系物体变形及受力情况的描述基本变量μεσ（位移）（应变）（应力）基本方程力的平衡方程几何方程物理方程求解方法经典解析半解析传统数值解法现代数值解法（计算机硬件、规范化、标准化、规模化）三大方面三大方程即：σ=EεE弹性模量7/17/2021南京农业大学工学院机械工程系三大基本方程根据静力学、几何学和物理学三方面条件，建立三套方程。平面问题中，根据微分体的平衡条件，建立平衡微分方程：(6)根据微分线段上形变与位移之间的几何关系，建立几何方程：(7)根据应力与形变之间的物理