《连续性间断点》PPT课件(I)

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1、第一章§1.4函数的连续与间断一、连续函数的定义二、函数的间断点（间断、间断点的分类）三、连续函数的运算及初等函数的连续性四、闭区间上连续函数的性质一、函数连续性的定义引例(1)(2)(3)(4)（4）连续即不存在（2）存在，但没有定义间断（3）存在,有定义,但（1）则称函数定义1设函数在的某邻域内有定义且,可见,函数在点(1)在点即(2)极限(3)连续必须具备下列条件:存在;有定义,存在;证因为且这说明：该函数在处连续.故有在处连续.例1.证明函数对自变量的增量有函数的增量函数在连续有下列等价命题:函数在连续等价于定义1’当自变量的增量趋于零时，函数的增

2、量也趋于零.左连续右连续定理1函数在某点连续等价于在该点左连续且右连续.机动目录上页下页返回结束例2.已知函数在处连续，求b.解因为函数在处连续，故所以，在区间上每一点都连续的函数，叫做该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续。函数在区间内连续在区间内的每一点都连续且在b处左连续在上连续.例如(有理整函数)又如,有理分式函数在其定义域内连续.只要都有机动目录上页下页返回结束例3.证明函数在内连续.机动目录上页下页返回结束同样可证:函数在内连续.这说明在内连续.证:即因由夹逼定理得，二、函数的间断点设在点的某去心邻域内有定义,则下列情形之一函数f(x)在

3、点不连续:在(2)函数不存在;虽有定义,但在(3)函数存在,但虽有定义,且这样的点称为间断点.(1)函数在无定义;机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束例如:在无定义，所以是函数的间断点因则为其无穷间断点.在无定义，因当函数值在-1与1间变动无限次，则为其振荡间断点.显然为其可去间断点.(3)(4)为其跳跃间断点.机动目录上页下页返回结束间断点分类:第一类间断点:及均存在,若称若称为可去间断点.为跳跃间断点.第二类间断点:及中至少一个不存在,称若其中有一个为振荡,称若其中有一个为为无穷间断点.为振荡间断点.机动目录上页下页返回结束例4.分析函数在

4、点x=1处的连续性.所以x=0是第一类跳跃间断点。解:∵函数在x=1处无定义，∴x=1为间断点。所以x=1是第一类可去间断点。又例5.分析函数在点x=0处的连续性.例6.讨论函数间断点的类型.解:可能间断点为x=1，x=2。所以x=1是第一类可去间断点。所以x=2是第二类无穷间断点。定理2在某点连续的有限个函数经有限次和,差,积,商(分母不为0)运算,结果仍是一个在该点连续的函数.1.连续函数的四则运算由于所以在其定义域内连续.例如,由于连续在其定义域内连续.连续.则三、连续函数的运算法则2复合函数的连续性处连续，且而函数f(u)在点u0处连续，则有定理3

5、连续函数的复合函数是连续的.即若在x0例如,因此复合函数在连续.初等函数的连续性例如,的连续区间为(端点为单侧连续)的连续区间为的定义域为因此它无连续点而基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义区间内连续机动目录上页下页返回结束连续函数的重要特征：对于在点处连续的函数，极限就等于该函数在点处的函数值解:于是由初等函数在其定义区间上的连续性，有例7.求例8.求解：例10.求机动目录上页下页返回结束解:例9.求解:原式四、闭区间上连续函数的性质定理4.（最值定理）在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最

6、小值.即:设则使(证明略)结论不一定成立.注意:若函数在开区间上连续,或在闭区间内有间断点,机动目录上页下页返回结束由定理1可知有证:设上有界.机动目录上页下页返回结束定理6.(零点定理)至少有一点且使(证明略)定理5.在闭区间上连续的函数在该区间上有界.证:作辅助函数则且故由零点定理知,至少有一点使即机动目录上页下页返回结束设且则对A与B之间的任一数C,一点使至少有定理7.(介值定理)小结目录上页下页返回结束至少有一个小于1的实根。例11.证明方程证:设且根据零点定理,至少存在一点使即在连续内容小结第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在第二类间断

7、点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型左连续右连续在点连续的等价形式机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束3.初等函数在定义区间内连续说明:分段函数在界点处是否连续需讨论其左、右连续性.基本初等函数在定义区间内连续连续函数的四则运算的结果连续连续函数的复合函数连续初等函数在定义区间内连续机动目录上页下页返回结束在上达到最大值与最小值;3).当时,使必存在上有界;在4.闭区间上连续函数的性质作业:习题1.43(4),4,5(2),8思考与练习设时,提示:在x=0连续.机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束解:间断点为

8、无穷间断点;故为跳跃间断点.备用题1确定函数间断点的类型机动目录上