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1、连续函数是非常重要的一类函数,也是函数的一种重要的性态.自然界中的许多变量都是连续变化着的,即在很短的时间内,它们的变化都是很微小的.这种现象反映在函数关系上,就是函数的连续性;对函数曲线来说就是从起点开始到终点都不间断.1.8函数的连续性与间断点1.8函数的连续性与间断点一、函数的连续性二、函数的间断点与分类三、连续函数的运算四、初等函数的连续性一.函数的连续性1.增量的概念（定义1.10）曲线不断曲线断开1.8函数的连续性与间断点2.连续的定义定义1.11定义1.121.8函数的连续性与间断点函数在一点连续必须满足3个必要条件：对定义的一点说明：(1
2、)在点即(2)极限(3)存在;有定义,存在;定义一般用来证明分段函数在分段点的连续性。1.8函数的连续性与间断点例1证1.8函数的连续性与间断点例2解函数在x=0点既左连续又右连续1-8函数的连续性与间断点3.单侧连续左连续和右连续统称为单侧连续。1.8函数的连续性与间断点例3解1.8函数的连续性与间断点4.区间上连续在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.连续函数的几何意义：注：应用定义可以证明函数在定义域内连续。1.8函数的连续性与间断点例4证同理可证函数y=cosx在定
3、义域内连续1.8函数的连续性与间断点例5证1.8函数的连续性与间断点左连续右连续函数在点连续有下列等价命题:连续的等价命题1.8函数的连续性与间断点5.在某点连续与极限存在的关系：连续极限存在；6.函数在某点连续的证明与判断：1）函数在该点是否有定义？2）函数在该点极限是否存在？3）极限值是否等于函数值？1.8函数的连续性与间断点思考与练习？研究下列分段函数在分段点的连续性1.8函数的连续性与间断点在在二、函数的间断点(1)函数(2)函数不存在;(3)函数存在,但不连续:设在点的某去心邻域内有定义,则下列情形这样的点之一函数f(x)在点虽有定义,但虽有定
4、义,且称为间断点.在无定义;1.定义1.8函数的连续性与间断点2.间断点分类:及均存在,若称若称及中至少一个不存在,称若其中有一个为振荡,称若其中有一个为为可去间断点.为跳跃间断点.为无穷间断点.为振荡间断点.第一类间断点第二类间断点1.8函数的连续性与间断点例6解可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.1.8函数的连续性与间断点注:本例中,1.8函数的连续性与间断点例7解1.8函数的连续性与间断点例9解1.8函数的连续性与间断点思考与练习？1.讨论函数x=2是第二类无穷间断点.间断点的类型.答案:x=1是第一类可去间断点,2.设
5、时提示:为连续函数.1.8函数的连续性与间断点例8解故称为无穷间断点。由于1.8函数的连续性与间断点3确定函数间断点的类型.解:间断点为无穷间断点;故为跳跃间断点.1.8函数的连续性与间断点在其定义域内连续三、连续函数的运算在某点连续的有限个函数经有限次和,差,积,商(利用极限的四则运算法则证明)(分母不为0)运算,结果仍是一个在该点连续的函数.例如,结论：三角函数在其定义域内连续。1.连续函数的四则运算定理1.121.8函数的连续性与间断点2.复合函数的连续性.定理1.13意义极限符号可以与函数符号互换！定理1.14是定理1.13的特殊情况.定理1.1
6、41.8函数的连续性与间断点复合函数求极限方法变量代换法：换序计算法：代入法：1.8函数的连续性与间断点3.反函数的连续性定理1.15例如,在上连续单调递增，其反函数(递减).(证明略)在[－1,1]上也连续单调递增.也连续单调递增结论：反三角函数在其定义域内连续。在上连续单调递增,其反函数在上也连续单调递增.又如,连续单调递增（递减）函数的反函数1.8函数的连续性与间断点指数函数及对数函数在它们的定义域内是连续的.幂函数在它们的定义域内是连续的.1.8函数的连续性与间断点四、初等函数的连续性一切初等函数在定义区间内连续。例如,的定义域为因此它无连续点基
7、本初等函数在定义域内连续。初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续;注意初等函数求极限的方法：代入法.1.8函数的连续性与间断点例10用代入法求下列极限解1.8函数的连续性与间断点例11用换序法求下列极限解特别地，1.8函数的连续性与间断点例12求下列极限解1.8函数的连续性与间断点注：形如如果说明:若则有的函数称幂指函数则1.8函数的连续性与间断点例13综合例题(1)指出函数的连续区间。1.8函数的连续性与间断点解初等函数的定义区间就是其连续区间，所以连续区间为(2)a,b为何值时，函数成为上的连续函数。1.8函数的连续性与间断点解函数在其
8、各个分段区间都是初等函数，连续又故即f(x)成为上的连续函数。(3)设解讨论复合
