函数的连续性与间断点(I)

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1、第八节函数的连续性与间断点一、函数的连续性二、函数的间断点三、小结思考题1【引言】自然界中的许多现象，如气温的变化、河水的流动、动植物的生长等等都是连续地变化着的；这种现象在数学上的反映，就是函数的连续性.2一、函数的连续性1.【增量】【增量的几何解释】32.【连续的定义】⑴【概念描述】⑵【定义1】连续的本质4⑶【定义2】【注】f(x)在x0处连续的三个条件（三条缺一不可）①②③则称函数y=f(x)在点x0处连续.5【注解】条件①条件②在本质上是一样的，只是形式上的不同条件①式清楚地反映了连续概念的实质，即自变量产生微小变化时，函数的变化也很微小

2、.但在证明具体函数的连续性以及作理论分析时，常应用条件②式（因为条件①要具体计算△y,往往很麻烦）6【补例1】【证】由定义2知f(x)在x0的邻域内显然有定义73.【单侧连续】⑴【左连续】⑵【右连续】⑶【定理】8【补例2】【解】右连续但不左连续，94.【连续函数与连续区间】在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.【几何表现】闭区间[a,b]上的连续函数的集合10【相关结论】①∵§5中已证多项式f(x)有②在定义域内连续.③∵§3例5已证明11【例3】【证】【相关结论】

3、④12二、函数的间断点①②③【描述】如果上述三个条件中只要有一个不满足，则称函数f(x)在点x0处不连续（或间断），并称点x0为f(x)的不连续点（或间断点）.函数f(x)在点x0处连续必须满足的三个条件131.【间断点定义】设函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义。在此前提下，如果函数f(x)有下列三种情形之一：①在x=x0没有定义；②虽在x=x0有定义，但不存在；③虽在x=x0有定义，且存在，但则函数f(x)在点x0处不连续（或间断），并称点x0为f(x)的不连续点（或间断点）.14【特别强调】①连续点要求在x0的某邻域内有定义；间断点要求

4、在x0的某去心邻域内有定义；失去这个前提，则不能研究点x0的连续性.［例如］定义域是一些离散的点的集合，在这些点的某去心邻域f(x)无定义,则这些点既不是f(x)的连续点，也不是它的间断点②连续点x0与间断点x0的共性是：均要求在x0的某去心邻域内有定义（【思考】为什么？），在这个前提下才有“f(x)的不连续点就是它的间断点”成立.15①［跳跃间断点］【补例4】【解】2.【函数间断点的几种常见类型】(1).【第一类间断点】(左右极限都存在的点).116②［可去间断点］【补例5】17【解】【说明】可去间断点只要改变（原来有定义时）或者补充（原来无定

5、义时）间断点处函数的定义,则可使其变为连续点，故称其为可去间断点.18如例5中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.【特点】可去型：左右极限存在且相等.跳跃型：左右极限存在但不相等.19(2)【第二类间断点】【补例6】【解】【特点】这种情况称为无穷间断点20【例7】【解】这种情况称为振荡间断点.【特点】振荡而不存在，但均不为∞，称之.21狄利克雷函数在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点.仅在x=0处连续,其余各点处处间断.特别地★★课后习题P655（3）反例【注意】不要以为函数的间断点只是个别的几个点.22在定义域R内每一点处都间

6、断,但其绝对值处处连续.★【观察练习】立即说出下列间断点类型:课后习题P655（2）反例23又如:无穷间断点振荡间断点可去间断点24【补例8】【解】25【典型补充例题】——备用机动题【补充1】【解】的间断点为则的间断点为因为所以是的第一类间断点（跳跃型）26【补充2】【解】则是的第一类（可去）间断点.27右连续三、小结左连续在点连续的等价形式第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型其它28可去型第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyxoyxoyx29【思考题

7、】30【思考题解答】且31但反之不成立.［例］但32