函数的连续性与间断点

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1、第八节函数的连续性与间断点函数的连续(continuity)函数的间断点小结思考题作业(discontinuouspoint)第一章函数与极限1间变化很小时,生物生长的也很少.在函数关系上的反映就是函数的连续性.在自然界中,许多事物的变化是连续的,如气温变化很小时,单摆摆长变化也很小.时在高等数学中,主要的研究对象就是连续函数.这种现象从直观上不妨这样说,连续函数的特征就是它的图形是连续的,也就是说,可以一笔画成.函数的连续性与间断点21.函数的增量自变量称差为自变量在的增量;函数随着从称差为函数的增量.如图:一、函数

2、的连续性函数的连续性与间断点3连续,2.连续的定义定义1设函数f(x)在内有定义,若则称函数f(x)在x0处并称x0为函数f(x)的连续点.定义2若则称函数f(x)在x0处连续.把极限与连续性联系起来了,且提供了连续函数求极限的简便方法——只需求出该点函数特定值.自变量在x0点的增量为无穷小时,函数的增量也为无穷小.形象地表示了连续性的特征.采用了无穷小定义法充分必要条件函数的连续性与间断点4连续性的三种定义形式不同,这三种定义中都含有但本质相同.f(x)在内有定义;(1)(2)(3)三个要素:定义3把极限定义严密化,便

3、于分析论证.存在;函数的连续性与间断点5注一般讲,证明的命题用函数连续的定义1方便;是判断分段函数在分界点处是否连续用判断函数在某点是否连续,尤其定义2方便.某一邻域而言.由上述定义可知,f(x)在x0点的连续性是描述f(x)在x0点邻域的性态的.即它是对因此在孤立点处无连续可言.函数的连续性与间断点6例证都是连续的.类似可证,是连续的.即函数的连续性与间断点7例证定义2试证函数处连续.函数的连续性与间断点83.左、右连续左连续(continuityfromthe右连续(continuityfromtheleft);ri

4、ght).左连续右连续函数的连续性与间断点9定理1此定理常用于判定分段函数在分段点处的连续性.函数的连续性与间断点10例解右不连续.所以左连续,函数的连续性与间断点114.连续函数(continousfunction)与连续区间上的或称函数在该区间上连续.在区间上每一点都连续的函数,称该区间在开区间右连续左端点右端点这时也称该区间为continuous左连续连续函数,连续区间.内连续函数的连续性与间断点12关于连续函数,有一个对某些问题的推理定理2很有用的定理.的一个邻域,使得在此邻域内是一条无缝隙的连绵而不断的曲线.连

5、续函数的图形函数的连续性与间断点13例如,有理整函数(多项式)内是连续的.因此有理分式函数在其定义域内的每一点有理分式函数只要都有因此有理整函数在都是连续的.第五节中已证函数的连续性与间断点14定义4出现如下三种情形之一:二、函数的间断点及其分类无定义;不存在;间断点.函数的连续性与间断点15间断点分为两类:第二类间断点(discontinuitypointofthesecondkind):第一类间断点(discontinuitypointofthefirstkind):及均存在,及中至少一个不存在.若称为可去间断点.若

6、称为跳跃间断点.若其中有一个为振荡,若其中有一个为称为无穷间断点.称为振荡间断点.函数的连续性与间断点,)0(0+¹xf16例由于函数无定义,故为f(x)的间断点.且皆不存在.第二类第二类间断点:至少有且是无穷型间断点.一个不存在.函数的连续性与间断点17例有定义,不存在,故为f(x)的间断点.第二类且是无穷次振荡型间断点.之间来回无穷次振荡,函数的连续性与间断点18例有定义,故为f(x)的间断点.第一类的第一类间断点.则点x0为函数f(x)的且是跳跃间断点.跳跃型间断点(Jumpdiscontinuity).及均存在,

7、则点x0为函数的连续性与间断点19函数的连续性与间断点例讨论函数解为函数的间断点.第一类且是可去间断点(removablediscontinuity).连续.处无定义,可去间断点.处在1=x20则可使x0变为连续点.注对可去间断点x0,如果于A,(这就是为什么将这种间断点称为使之等可去间断点的理由.)补充x0的函数值,或改变函数的连续性与间断点21如补充定义:如但函数的连续性与间断点22总结两类间断点:第一类间断点:跳跃型,第二类间断点:无穷型,可去型无穷次振荡型极限与连续之间的关系:f(x)在x0点连续f(x)在x0点

8、存在极限函数的连续性与间断点23练习解函数无定义,是函数的间断点.由于所以是函数的第二类间断点,且是无穷型.由于所以是函数的第一类间断点,且是跳跃型.并指出其类型.函数的连续性与间断点24练习设解因为所以必需且只需即必需且只需即函数的连续性与间断点25(见下图)无穷型,无穷次振荡型三、小结1.函数在一点连续的三个定义