函数的连续性与函数的间断点

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1、第八节函数的连续性与函数的间断点一、问题的提出二、函数的连续性三、函数的间断点四、小结与思考判断题第一章8/13/20211一、问题的提出0T(时间）温度C41424一天的气温是连续地变化着，体现函数的连续性。连续性是函数的重要性态之一，在实际问题中普遍存在连续性问题，从图形上看，函数的图象连绵不断。8/13/20212二、函数的连续性1.函数的增量8/13/202132、函数在一点连续的定义8/13/202148/13/20215例1证由定义知，8/13/202163、单侧连续性左连续右连续结论8/13/20217例2.解

2、右连续但不左连续,8/13/202184、区间上的连续函数在区间上每一点都连续的函数，叫做在该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续。注:⑴连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线。⑵有理整函数在区间(-∞,+∞)内是连续的。⑶有理分式函数在其定义域内的每一点是连续的。8/13/20219例3.证(夹逼准则）8/13/202110在在三、函数的间断点(1)函数(2)函数不存在;(3)函数存在,但不连续:设在点的某去心邻域内有定义,则下列情形这样的点之一函数f(x)在点虽有定义,但虽有定义,且称为间断点.在无定义;8/13/

3、202111间断点分类:第一类间断点:及均存在,若称若称第二类间断点:及中至少一个不存在,称若其中有一个为振荡,称若其中有一个为为可去间断点.为跳跃间断点.为无穷间断点.为振荡间断点.8/13/202112为其无穷间断点.为其振荡间断点.为可去间断点.例4.8/13/202113显然为其可去间断点.(4)(5)为其跳跃间断点.8/13/202114例5.解注可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.8/13/202115例6.解8/13/202116内容小结左连续右连续第一类间断点可去间断点跳跃间断点左

4、右极限都存在第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型在点连续的等价形式8/13/202117思考与练习1.讨论函数x=2是第二类无穷间断点.间断点的类型.2.设时提示:3.P64题2,P65题5为连续函数.答案:x=1是第一类可去间断点,8/13/202118P65题5提示:作业P643;4仅在x=0处连续,其余各点处处间断在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点.8/13/202119