D18函数的连续性与间断点(I)

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1、二、函数的间断点一、函数的连续性第八节函数的连续性与间断点第一章函数与极限第一章引入连续函数具有很强的几何直观，且在生活中有许多现实的例子.比如,随着时间的微小变化，我们的身高也进行微小的改变，气温也进行微小的变化，开着的汽车的行程也作了微小的变化。总得说来，可以抽象为随着自变量的微小变化，相应的函数值也只有微小的变化。来刻画这种相互依赖的微小变化用到的工具就是函数的极限。自变量与应变量的变化描述xyOy=f(x)一、函数在点x0连续的定义记于是，上述定义可以转化为确切地，有以下定义：可见,函数f

2、(x)在点x0连续必须具备下列条件:一、函数在点x0连续的定义（续）(1)f(x)在点x0有定义，即f(x0)存在;(2)极限(3)存在;用极限的“”语言来描述：单侧连续的定义(1)左连续:(2)右连续:区间上的连续函数在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.直观上，连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.在闭区间上的全体连续函数的集合记作在上连续.有理分式函数在其定义域内连续.因只要都有例，多项式函数例.证:即由x0的任意性知函数同样可证:函数二、函

3、数的间断点(1)函数f(x)在点x0(2)函数f(x)在点x0不存在;(3)函数f(x)在点x0存在,但设f(x)在点x0的某去心邻域内有定义,则有下列情形之一的函数f(x)在点x0不连续:虽有定义,但虽有定义,且这样的点x0称为间断点或不连续点.无定义;间断点的分类:第一类间断点:及均存在,若称若称第二类间断点:及中至少有一个不存在,，称若其中有一个振荡,称若其中有一个为为可去间断点.为跳跃间断点.为无穷间断点.为振荡间断点.为其无穷间断点.为其振荡间断点.为可去间断点.例如,在处无定义.在x=

4、0处无定义.在x=1处无定义.x=0x=1补充定义f(1)=？,则函数在x=1连续.显然x=1为其可去间断点.(5)x=0为其跳跃间断点.。。(4)修改定义f(1)=？时可使函数在x=1处连续.小结左连续右连续第一类间断点可去间断点跳跃间断点(左右极限都存在)第二类间断点无穷间断点振荡间断点(左右极限至少有一个不存在)2.f(x)在点x0间断的类型1.f(x)在点x0连续的两种等价形式可补充或修改定义使之成为连续点!课堂练习x=2是第二类无穷间断点.提示:时f(x)为连续函数.答案:x=1是第一类

5、可去间断点,可补充定义f(1)=2则函数就在x=1处连续.3.确定函数间断点的类型.解:间断点为无穷间断点;故x=1为跳跃间断点.