资源描述：
《D18函数的连续性和间断点》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、四、函数的间断点及其分类一、函数连续性的定义第八节函数的连续性与间断点第一章三、初等函数的连续性机动目录上页下页返回结束二、连续函数的运算性质例1.设函数一、函数连续的概念定义:在的某邻域内有定义,则称函数设函数且，讨论在处的连续性。机动目录上页下页返回结束由例题可见,函数在点(1)在点即(2)极限(3)连续必须具备下列条件:存在;有定义,存在;例2.设函数，讨论处的连续性。在机动目录上页下页返回结束则称在或称它为该区间上的连续函数.在闭区间上的连续函数的集合记作称在点处左连续称在点处右连续如果在开区间内每一点都连续,上连续,则称且在a点右连续，如果在开区间上连续,在b点左连续，在闭区间上连
2、续。机动目录上页下页返回结束例如,在上连续.有理整函数（多项式函数）又如,有理分式函数在其定义域内连续.只要都有机动目录上页下页返回结束对自变量的增量有函数的增量函数在点连续有下列等价命题:机动目录上页下页返回结束函数在点连续有两种形式的定义：用于判断一个具体函数在一个已知点处的连续性用于证明函数在任意点处的连续性；或用于函数连续的理论分析机动目录上页下页返回结束例3.证明函数在内连续.证:即这说明在内连续.同样可证:函数在内连续.机动目录上页下页返回结束定理2.连续单调递增函数的反函数在其定义域内连续定理1.在某点连续的有限个函数经有限次和,差,积,商(分母不为0)运算,结果仍是一个在该点
3、连续的函数.例如,例如,在上连续单调递增，其反函数(递减).(证明略)在[－1,1]上也连续单调递增.递增(递减)也连续单调二、连续函数的运算性质机动目录上页下页返回结束定理3.由连续函数构造的复合函数也是连续函数.在上连续单调递增,反函数在上也连续单调递增.又如,机动目录上页下页返回结束例如,是由连续函数链因此在上连续.复合而成,机动目录上页下页返回结束三.初等函数的连续性基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义区间内都连续例如,的连续区间为(端点为单侧连续)的连续区间为的定义域为因此它无连续点而机动目录上页下页返回结束在在四、函数的间断
4、点及其分类(1)函数(2)函数不存在;(3)函数存在,但不连续:设在点的某去心邻域内有定义,则这样的点下列情形之一时,函数f(x)在点虽有定义,但虽有定义,且称为间断点.在无定义;机动目录上页下页返回结束为其无穷间断点.为其振荡间断点.为可去间断点.例4.求下列函数的间断点时无定义，且时无定义，且不存在，时无定义，且机动目录上页下页返回结束且为其可去间断点.(4)(5)为其跳跃间断点.是分段点是分段点机动目录上页下页返回结束初等函数的间断点只能产生在函数孤立的无定义点上分段函数的间断点往往产生在分段点上（具体判别）机动目录上页下页返回结束间断点的寻找：间断点分类:第一类间断点:及均存在,若称
5、若称第二类间断点:及中至少一个不存在,称若其中有一个为振荡,称若其中有一个为为第一类可去间断点.为第一类跳跃间断点.为第二类无穷间断点.为第二类振荡间断点机动目录上页下页返回结束例5.讨论函数x=2是第二类无穷间断点.间断点例6.设提示:为连续函数,求a，b.答案:x=1是第一类可去间断点,及类型。机动目录上页下页返回结束例7.确定函数间断点的类型.解:间断点为无穷间断点;故为跳跃间断点.机动目录上页下页返回结束作业P411(2，3)；2（2，3）；4（3，4，5）；5第九节目录上页下页返回结束
