连续性和间断点(I)

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1、二、函数的间断点一、函数连续性的定义第五节机动目录上页下页返回结束函数的连续性四、连续函数的性质三、初等函数的连续性可见,函数在点一、函数连续性的定义定义:在的某邻域内有定义,则称函数(1)在点即(2)极限(3)设函数连续必须具备下列条件:存在;且有定义,存在;机动目录上页下页返回结束continue若在某区间上每一点都连续,则称它在该区间上连续,或称它为该区间上的连续函数.又如,有理分式函数在其定义域内连续.在闭区间上的连续函数的集合记作只要都有机动目录上页下页返回结束对自变量的增量有函数的增量函数在点连续有下列等价命题:机动目录上页下页返

2、回结束在在二、函数的间断点(1)函数(2)函数不存在;(3)函数存在,但不连续:设在点的某去心邻域内有定义,则下列情形这样的点之一函数f(x)在点虽有定义,但虽有定义,且称为间断点.在无定义;机动目录上页下页返回结束间断点分类:第一类间断点:及均存在,若称若称第二类间断点:及中至少一个不存在,称若其中有一个为振荡,称若其中有一个为为可去间断点.为跳跃间断点.为无穷间断点.为振荡间断点.机动目录上页下页返回结束为其无穷间断点.为其振荡间断点.为可去间断点.例如:机动目录上页下页返回结束显然为其可去间断点.(4)(5)为其跳跃间断点.机动目录上页

3、下页返回结束三、初等函数的连续性基本初等函数在定义区间内连续连续函数的四则运算的结果连续连续函数的反函数连续连续函数的复合函数连续初等函数在定义区间内连续说明:分段函数在界点处是否连续需讨论其左、右连续性.机动目录上页下页返回结束1、最值定理定理1.在闭区间上连续的函数值和最小值.在该区间上一定有最大2、零点存在定理定理2.至少有一点且使(证明略)3、介值定理设且则对A与B之间的任一数C,一点使至少有内容小结第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型在点连续的等价形式机

4、动目录上页下页返回结束思考与练习1.讨论函数x=2是第二类无穷间断点.间断点的类型.机动目录上页下页返回结束答案:x=1是第一类可去间断点,作业P41、2、3