线性代数 居余马 第4章 线性空间和线性变换

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1、第4章向量空间和线性变换主要内容Rn的基与向量关于基的坐标Rn中向量的内积标准正交基和正交矩阵说明：本章重点是第一节和第二节的内容,第三节至第六节的内容自己阅读.若时间允许，我们再做详细讨论.2021/9/182第三章4.1Rn的基及向量关于基的坐标定义4.1设有序向量组B＝{1,2,,n}Rn，若B线性无关，且Rn中任意一个向量均可以由B线性表示为=a11+a22++ann则称B是Rn的一组基（或基底），有序数组(a1,a2,,an)是向量关于基B（或在基B下）的一组坐标(坐标向量),记作B=(a1,

2、a2,,an)或B=(a1,a2,,an)T2021/9/184第三章Rn的基不是唯一的，而在给定基下的坐标是唯一确定的。Rn中n个单位向量组成的基称为自然基。在R3中，=a1i+a2j+a3k。向量(a1,a2,a3)是关于自然基{i,j,k}的一组坐标。Rn中的向量=(a1,a2,,an)T也是关于自然基B={e1,e2,,en}的坐标B。2021/9/185第三章例1Rn有一组基B={1,2,,n}，其中1=(1,1,,1),2=(0,1,,1),,n=(0,0,,1)求=(a1

3、,a2,,an)在基B下的坐标。请思考!2021/9/186第三章解设B=(x1,x2,,xn)T，即=x11+x22++xnn=2021/9/187第三章解这个方程组，得x1=a1,x2=a2a1,,xn=anan-1即所以，在基B下的坐标为B=（a1,a2a1,,anan-1）T。2021/9/188第三章则1,2,,n线性无关的充要条件是定理4.1设B1={1,2,,n}是Rn的一组基,且2021/9/189第三章由只有零解。证:1,2,,n线性无关的充要条件是及202

4、1/9/1810第三章因1,2,,n线性无关，i的系数全为零,只有零解只有零解

5、A

6、0。(i=1,,n)即2021/9/1811第三章定义4.2两组基B1=(1,2,,n)和B2=(1,2,,n)的关系，用矩阵的形式表示为矩阵A=(aij)nn叫做基B1变为基B2的过渡矩阵(1,2,,n)=(1,2,,n)过渡矩阵A是可逆的。A的第j列是j在基{1,2,,n}下的坐标。2021/9/1812第三章定理4.2设基B1变为基B2的变换矩阵为A，向量在B1,B2下的坐标分别为

7、Ay=x或y=A1x则2021/9/1813第三章证：由已知条件=x11+x22++xnn=y11+y22++ynn由于在基B1=(1,,n)下的坐标是唯一的，所以=(1,,n)=(1,,n)=((1,,n)A）(1,,n)=(1,,n)Ax=Ay或y=A1x代入2021/9/1814第三章例2已知B2={1,2,3}是R3一组基，1=(1,2,1)T,2=(1,1,0)T,3=(1,0,1)T求R3的自然基B1={e1,e2,e3}到基B2的过渡矩阵A

8、。2021/9/1815第三章即得自然基B1到基B2的过渡矩阵解:由A是1,2,3按列排成的矩阵。2021/9/1816第三章例3已知R3的两组基B1={1,2,3},B2={1,2,3}为1=(1,1,1)T,2=(0,1,1)T,3=(0,0,1)T1=(1,0,1)T,2=(0,1,1)T,3=(1,2,0)T(1)求基B1到基B2的过渡矩阵A;(2)已知在基B1下的坐标为x=(1,2,1)T，求在基B2下的坐标y。2021/9/1817第三章(1,2,3)=(1,2,3)

9、解(1)设即2021/9/1818第三章为所求的过渡矩阵2021/9/1819第三章在基B2下的坐标y，由定理4.2得解(2)y=A1x2021/9/1820第三章在平面直角坐标系中，坐标轴旋转的坐标变换公式将坐标系Oxy绕原点O按逆时针方向旋转角,得,Oxy的自然基B1={e1,e2}={(1,0),{0,1}}变换为的基B2=2021/9/1821第三章基B1变为基B2的变换矩阵A.由图得即oxyxoP()P(x,,y)y2021/9/1822第三章设点P在基B1和B2下的坐标分别为(x,y)和()，则2021/9/

10、1823第三章4.2Rn向量的内积标准正交基和正交矩阵4.2.1n维实向量的内积欧氏空间2021/9/1824第三章空间几何向量的运算中，讲过向量的长度、夹角都可由向量的内积表示，而且向量的内积满足4条运算规则。定义4.3设=(a1,a2,,