第一章 张量初步及应力、应变基本方程

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1、第一章张量初步及应力、应变基本方程岩土塑性力学1.1张量初步1.2一点的应力状态参考文献：1.3最大(最小)剪应力龚晓南：土塑性力学1.4应力张量的分解1.5八面体应力、等效应力徐秉业：塑性理论引论1.6应力圆和洛德(Lode)参数1.7应力空间陆明万等：弹性理论基础1.8应力路径孙炳楠等：工程弹塑性力学1.9应变张量的分解1.10应变空间与应变π平面郑颖人等：岩土塑性力学原理1.11各种剪切应变间的关系1.12应力和应变的基本方程教师：徐平下载：ftp://202.197.185.21:2007TEL:1

2、37331890571.1张量初步x3=zu3(uz)矢量可以在参考直u力学中常用的量可以分成几类：只有大小没有方向性角坐标系下分解，以位的物理量称为标量，通常用一个字母来表示，例如温度T、u2(uy)移矢量u为例，它可以e3(k)u1(ux)密度ρ、时间t等。既有大小又有方向的物理量称为矢量，表示成位移分量ux、uy、e1(i)oe2(j)x2=y常用黑体字母(或字母上加一箭头)来表示，例如矢径r()��uz与基矢ex、ey、ez的x=x和力rF()等。具有多重方向性的的更为复杂的物理量称为1F乘积之和的

3、形式：张量，常用黑体字母或字母下加一横表示，例如一点的应图1.1位移矢量的分解3力状态可以用应力张量σ()表示，它具有二重方向性，是σu=uexx+ueyy+uezz=ue11+ue22+ue33=∑ueii(1-1)二阶张量，而标量和矢量分别为零阶和一阶张量。i=1指标：对于一组性质相同的n个量可以用相同的名字加不(2)矢量a和b的分量可分别记为ai和bi，它们的点积为：3同的指标来表示，例如位移u的分量可用ui(i=1,2,3)表示，abi=abxx+abyy+abzz=ab11+ab22+ab33=∑

4、abii(1-2)i=1这里的i就是指标。今后约定，如果不标明取值范围，则拉引入爱因斯坦求和约定：如果在表达式的某项中，丁字母i，j，k，···均表示三维指标，取值1，2，3，例如，某指标重复地出现两次，则表示要把该项在该指标的取值采用ui可以表示u1、u2和u3三个数值，这种名字加指标的范围内遍历求和，该重复指标称为哑指标，或简称哑标。记法称为指标符号。用哑标代替求和符号∑，则位移矢量u和点积a·b可表指标符号的正确用法：示成：u=uiei，a·b=aibi。显然，aibi=biai，即矢量点积的顺(1)

5、三维空间中任意点的三个直角坐标通常记为x，y和z。序可以交换：a·b=b·a；由于哑标仅表示遍历求和，因此指标符号可缩写成xi，其中x1=x，x2=y，x3=z。可以成对地任意换标，例如a·b=aibi=ajbj=akbk。1(3)对于各向同性的均质弹性体，物理方程可描述为：采用张量，则物理方程可表示：σ=2Gε+λεδ(1-3)⎧E⎛µ⎞ijijkkij⎪σx=1+µ⎜⎝12−µe+εx⎟⎠=λε(x+εy+εz)+2Gεxi和j为自由指标，表示轮流取该指标范围内的任何值，关系⎪⎪E⎛µ⎞式将始终成立，式

6、中σij和εij分别表示9个应力和应变分量：⎪σy=⎜e+εy⎟=λε(x+εy+εz)+2Gεy⎪1+µ⎝12−µ⎠⎧σ=σσ,=σσ,=σ⎧ε=εε,=εε,=ε11x22y33z11x22y33z⎪⎪⎪⎪σ=E⎛µe+ε⎞=λε(+ε+ε)+2Gε⎨σ12=τxy,σ23=τyz,σ31=τzx⎨ε12=εxy,ε23=εyz,ε31=εzxz⎜y⎟xyzy⎪1+µ⎝12−µ⎠⎪⎪σ=τ,σ=τ,σ=τε=ε,ε=ε,ε=ε⎨⎩21yx32zy13xz⎩21yx32zy13xz⎪Eτ=γ=Gγ=2Gε

7、⎪xy+xyxyxyk为哑标，ε=ε+ε+ε=ε+ε+ε21(µ)kk112233xyz⎪⎪τ=Eγ=Gγ=2Gεδij为Kronecher符号：δij=1(i=j)，δij=0(i≠j)，根据场论，δij可⎪yzyzyzyz21(+µ)⎪以表示两个基矢的点积：δij=ei·ej⎪E⎪τzx=21(+µ)γzx=Gγzx=2Gεzx注意：aibj表示9个数，而aibi则只是一个数。⎩自由指标和哑标举例：3δ的应用与计算示例如下：ijabii=∑abii=ab11+ab22+ab33i=1(1)δ=δ+δ+δ

8、=33ii112233abijj=∑abijj=abi11+abi22+abi33j=1(2)δδ=δδ+δδ+δδ+δδ+δδ+δδ33ijij111112121313212122222323abcijij=∑∑abcijij=abc1111+abc1212+abc1313+δδ+δδ+δδ=(δ)2+(δ)2+(δ)2=3i=1j=1313132323333112233+abc+abc+abc+abc+abc