第一章 场论和张量初步

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1、第一章场论和张量初步1.1场的定义及分类设在空间中的某个区域内定义标量函数或矢量函数，则称定义在此空间区域内的函数为场。均匀场：同一时刻内各点函数的值都相等。反之为不均匀场。定常场：场内函数值不依赖于时间。。反之为不定常场。1.2场的几何表示标量场：等位线。矢量场：矢量线的微分方程：积分，将t看成参数，即得矢量线的分析表达式。1.3梯度——标量场不均匀性的量度梯度：大小为，方向为n，的矢量称为标量函数的梯度，以表之。在s方向上的方向导数等于梯度矢量在s方向上的投影。梯度在直角坐标系中的表达式为总结起来，梯度的主要性质是：1

2、）梯度描写了场内任一点M领域内函数的变化状况，它是标量场不均匀性的量度。1）梯度的方向与等位面的法线重合，且指向增长的方向，大小是n方向上的方向导数；2）梯度矢量在任一方向s上的投影等于该方向的方向导数；3）梯度的方向，即等位线的法线方向是函数变化最快的方向。定理1梯度满足关系式定理2若，且是矢径r的单值函数，则沿任一封闭曲线L的线积分等于零，反之，若矢量a沿任一封闭曲线L的线积分则矢量a必为某一标量函数的梯度。例：计算仅与矢径大小r有关的标量函数的梯度。I）利用性质（2），标量函数的等位面是以坐标原点为心的球面，而球面的

3、法线方向，即矢径r的方向，故的方向就是矢径r的方向其次的大小是于是ii）利用性质（5），显然，，因故，，于是，，而iii）利用定理1，因微分得于是根据定理1最后我们指出，写成的矢量场亦称位势场，称为位势函数。1.4矢量啊通过S面的通量。矢量的散度。奥高定理。通量散度/奥高公式微分形式散奥高公式积分形式散度在直角坐标系中的形式为组成一标量场。1.5无源场及其性质无源场：diva=0的矢量场或称管式场。主要性质：1）无源场矢量a经过矢量管任一横截面上的通量保持同一数值。2）矢量管不能在场内发生或终止。一般来说它只可能伸延至无穷

4、，靠在区域的边界上或自成封闭管路。3）无源矢量a经过张于一已知周线L的所有曲面S上的通量均相同，亦即此通量只依赖于周线L而与所张曲面S的形状无关。1.6矢量a沿回线的环量。矢量a的旋度。斯托克斯定理环量：旋度/斯托克斯微分形式：斯托克斯积分公式：直角坐标系中的表达式：1.7无旋场及其性质rota=0的矢量场称为无旋场。无旋场和位势场的等价性。1.8基本运算公式1.9哈密顿算子哈密顿算子：用哈密顿算子表示几个较复杂的微分公式：利用哈密顿算子证明几个较为复杂的微分公式：（1）。证等式左边可写成根据两函数乘积的微分法则，等于看成

5、常数微分a和看成常数微分二项之和，于是有其中，代表暂时看作是常数的符号，这符号以后经常使用，先考虑，既然是常数，对它不起微分作用，因此应该提出放在微分符号之前，于是有其次考虑，此时是常数应提到符号之前，但它作为一矢量还应和矢量起点乘作用，于是有既然都在微分号外便可去掉指标c，这样最终得