教材-张量分析与场论

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1、张量分析与场论第一章张量代数任何物理现象的发展都是按照自身的规律进行的，这是客观的存在，而不以人们的意志为转移。但是，在研究、分析这些物理现象时，采用什么样的方法则是由人们的意志决定的。无数事实证明，研究方法的选取与当时人们对客观事物的认识水平有关，而研究方法的好坏则直接关系到求解问题的繁简程度。由于物理量的分量与坐标的选择有关，所以由物理量的分量表示的方程，其形式就必然与坐标系的选取有关。在建立基本方程时，每选用一种坐标系都要作一些繁琐的推导。张量分析能以简洁的表达式，清晰的推导过程，有效地描述复杂问题的本

2、质，并突出现象的几何和物理特点。张量分析成功应用的根本在于由它表示的方程具有坐标变换下不变的性质，即由张量表示的方程，其形式不随坐标的选择而变化。第一章中将着重介绍直角坐标系中的张量代数，第二章介绍正交曲线坐标系的张量分析及场论，作为进一步的学习的基础，在第三章还对一般曲线坐标系中的张量做了简单的介绍。1.1点积、矢量分量及记号我们在以前的学习中已熟悉了用箭头表示的矢量，如位移，力等。这些量满足平行四边形运算的矢量加法法则，即设，为矢量，则的运算如右图所示。在理论力学中我们还知道，如表示某一点的位移，表示作用

3、在该点上的力，则该力对物体质点所做的功为其中、

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5、分别表示矢量、的大小，θ表示矢量与矢量之间的夹角，这就定义了一种称为点积的运算。点积的定义：设，为两个任意矢量，设

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7、，

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9、分别为其大小（也称为模）。θ为这两个矢量之间的夹角，则与的点积为由点积定义可知，点积具有交换律，即•=•。可以用几何的方法证明点积也具有分配率，即如=+，则或可写为如果则称垂直于，记为⊥。由点积的定义可知，。如

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11、=1则称为单位矢量。以上对矢量的记法是一种几何记法，称为实体记法，也有的书上称其为不变性形式。这种记法的特点是非常直观。如在力

12、学中，分析作用力时，就用有向线段来表示矢量。但是用几何记法只能进行简单的矢量运算，稍微复杂一点的矢量运算就无法进行了，因此必须借助于坐标用分析的方法来进行。我们引入坐标系，用坐标的方法来描述一个矢量。在空间选三个矢量组成坐标架，这三个矢量取名为（,,），其大小为1，方向互相垂直，即有如下的性质：，，，，{}称为基矢量或坐标架。空间的任意矢量可以用平行四边形法则表示为三个基矢量的和，即其中表示在方向上的投影，即，称为在坐标{}下的分量。矢量的表示方法：实体记法；分量记法（，，）或即我们有可以用分量记法表示矢量的

13、加、减法和点积，设，是矢量，即有，，则矢量可以表示为则的分量为利用点积的分配率我们可得，==为了进一步简化写法，这里我们引入求和规则：若某个指标在一项中重复出现一次，则表示这个指标应从1到3求和。这个约定就是著名的爱因斯坦（Einstein）约定求和。按照约定求和，一个矢量可写为两个矢量的和可以表示为点积可以表示为考虑到到的线性变换可写为用约定求和的写法有在一项中指标相同的要求和，求和的指标称为哑指标，不求和的指标称为自由指标。在点积的表达式中指标i为哑指标。在线性变换的表达中指标i为自由指标，等号右边第一项

14、的指标j为哑指标。设微元矢量为，则微元弧长为一个函数的微分可以写为这里我们引进一个算子称为哈米顿算子，这个算子兼有导数和矢量的两重作用。这样一个函数的微分可以写为其中一个表达式中，哑指标必须是成对出现的，其名称是可以改变的，每一项的自由指标的多少以及名称都应是一样的。一个表达式中的自由指标的名称要换必须同时换，而且不能与其它指标的名称相同。如线性变换这个表达式中有三项，，，其中第二项有哑指标j，可以换成k，或l，但不能换成i，因为这一项中i为自由指标。在这三项中都有自由指标i，要换必须同时换，如换成k，即可写

15、为，但不能换成j，因为第二项中j为哑指标。一般的情况下由推不出。只有在任意的上成立时，才能推得出该式。在引入坐标系时，要求基矢量有下列关系，及这一性质可用记号来表示，令由定义可知具有对称性，即=。我们有如下关系：，如用矩阵的表示方法，可以表示为一个3×3的单位矩阵，即由的定义，根据约定求和的规定，我们有因此，我们有由于对称性，上式也可写为对点积运算可以按如下形式进行其中用到了上边的推导的结果，即。这与前边点积可写为=的结果一致。由此可以看出，的作用是使该式中的指标j变为指标i，也称为换标符号。利用的换标作用，

16、一个函数的微分可以进行如下的推导利用及约定求和使得推导变得很方便了。1.2记号、矢积（叉乘）、关系在介绍矢积之前，我们先定义另一个记号，由ε的定义可知；。可以用ε来表示三阶行列式==或=也可以写成在直角坐标系中基矢量{}的矢积（叉乘）定义如下：设（）构成右手系，则定义；；；；；；可以验证，矢积可以用记号ε来表示例如例如容易把矢积推广到一般矢量的情况，设；；叉乘仍为一个矢量的分量为，例如中不为零的项只