第一章场论和张量初步(3).pdf

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1、第一章场论和张量初步梯度•表达式：gradijkxyz•性质：梯度grad的方向与等位面的法线方向重合，且指向增大的方向，大小是n方向上的方向导数。n通量•通量：andSadS=矢量a通过面积元dSn的通量。•若a为速度V，则VndS表示流体的流量。•将andS在曲面S上积分，得andSS•称为矢量a通过S面的通量。散度•表达式：andSadSnaayassxzdivalimlimVV00VVxyz•物理意义：divaM表示在点M处的单位体积内散发出来的矢量a的通量。

2、若散度在一点大于零，表明在该点附近流向该点的量少于自该点流出的量，我们称该点为“源”，若散度在一点处小于零，则表明在该点附近流向该点的量多余自该点流出的量，称该点为“漏”。无源场及其性质diva=0的矢量场称为无源场或管式场。具有以下主要性质：(1)无源矢量a经地矢量管任一横截面上的通量保持同一数值。(2)矢量管不能在场内发生或终止。(3)无源矢量a经过张于已知周线L的所有曲面S上的通量均相同，此通量只依赖于周线L而与所张曲面S的形状无关。L5环量•给定一矢量场aart,，在场内任意取一曲线L，作线积分：adradxad

3、yadzxyzLL•若L是封闭曲线，则环量为adradxadyadz=xyzLL旋度•表达式ijkadrLrotalim=S0Sxyzaaaxyzaaaaaazzyyxx=i+j+kyzzxxy•物理意义：矢量在某点附近各方向上环量强弱的程度,进而得到其单位面积平均环量的极限的大小程度。1.7无旋场及其性质rota=0的矢量场称为无旋场若rota=0，则agrad若agrad则a称为位势场。rota=0即位势场与无旋场是等价

4、的。8微分算子222拉普拉斯算子：222xyz哈密顿算子：ijkxyz梯度：ijk=gradxyzaaaxyz散度：aa=divxyzaaaaaazzyyxx旋度：ai++jkrotayzzxxy9张量基本概念•标量（零阶张量）•例如：质量，温度……其值与坐标系选取无关。•矢量（一阶张量）x3=zu3e3•例如：位移，速度……u矢量u在笛卡尔坐标系中分解为：3pu2e

5、2uueueue=uee3=ku1e1112233iii1其中u,u,u是u的三个分量，e1=ie2=jx2=y123eee,,是单位基矢量。123x1=x10张量基本概念矢量（一阶张量）x3=zu3e3既有大小又有方向性的物理量;u其分量与坐标系选取有关，满pu2e2足坐标转换关系；e3=ku1e1遵从相应的矢量运算规则。e1=ie2=jx2=yx1=x11张量基本概念矢量(可推广至张量)的三种记法：实体记法：u或u3分解式记法：uueueue=ue112233iii1分量记法：ui12张量基本概

6、念•张量是一个物理量或几何量，它由在某参考坐标系中一定数目的分量的集合所规定，当坐标变换时，这些分量按一定的变换法则变换。•张量是矢量概念的推广。它是一种不依赖于待定坐标系的表达物理定律的方法。在标量和向量的定义中，强调客观存在的物理量是不依赖坐标系而存在的不变量，例如质量的大小，速度的方向和大小等，这种定义方式比较直观易于理解。张量所表示的物理量也是客观存在的，也具有与坐标系无关的特性。13张量表示法•由于张量常常包含多个分量，在公式中要把涉及的分量一一写出必然非常繁杂，因此规定下述张量表示法。在张量表示法中，将坐标x、y、z改写成

7、x、x、x123(A)指标x1,x2,,xnxii,1,2,n,变量的集合：表示为：y1,y2,,ynjyjn,1,2,,写在字符右下角的指标，例如x中的i称为下标。写在字i符右上角的指标，例如yj中的j称为上标；使用上标或下标的涵义是不同的。用作下标或上标的拉丁字母或希腊字母，除非作了说明，一般取从1到n的所有整数，其中n称为指标的范围。14张量表示法(B)求和约定若在一项中，同一个指标字母在上标和下标中重复出现，则表示要对这个指标遍历其范围1，2，3，…n求和。这是一个约定，称为求和约定。例：三维空间的平面方程为：az

8、1az2az3p1233i式中ai,p是常数。这个方程可写成:azipi1i应用求和约定，则这个方程可写成如下形式：azpi遍历指标的范围求和的重复指标称为哑指标或跑标。不求和的指标称为自由指标。15张量表