第二讲 应变张量

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1、晶体的弹性本章内容2.1引言2.2应力张量2.3应变张量2.4弹性系数2.5晶体中的弹性波12.3.1晶体形变的描述方法位移梯度的引入考虑两根材质相同、但长度不同的绳子，在受相同张力的情况：xx12∆x∆x12∆x∆x12∆x≠∆x=12xx12利用位移梯度来描述晶体的形变，可不受晶体外形和尺寸影响！22.3.2e张量ij连续介质中的位移梯度PQ∆xP’Q’∆x+∆u此点坐标为xP'Q'−PQ∆ue==PQ∆x当∆x→0时，可得出某点的位移梯度表示形式：∆u∂u(x)e(x)=lim=∆x→0∆x∂x32.3.2e张量ij二维空间情况

2、x2θ21Q’∆uP∆ue=2=tgθ22121∆xQ∆x11x1四个应变分量（二维）∆u∆u∆u∆u1212e=,e=,e=,e=11221221∆x∆x∆x∆x1221∂uie=ij∂xj42.3.2e张量ije张量描述晶体的转动与形变ijxx22θ12xx11θ21e=e2112纯形变！52.3.2e张量ije张量描述晶体的转动与形变ijxx22θ12xx1θ121e=−e2112纯转动！62.3.3应变张量应变张量的引出1ε=(e+e)ε=ε描述形变，对称张量ijijjiijji21ω=(e−e)ω=−ω描述转动，反对称张量ijijj

3、iijji2晶体的弹性所关心的是：晶体在外力作用下，晶格所发生的畸变，而非转动！72.3.3应变张量三维情况下的应变张量∂uxε=1311∂x1∂u1dx1∂x1x2x182.3.3应变张量三维情况下的应变张量x∂u32ε=22∂x2x2∂u2xdx21∂x292.3.3应变张量三维情况下的应变张量∂u∂ux323ε==23∂x∂x32∂u2∂x3x2∂u3x∂x12102.3.3应变张量三维情况下的应变张量x∂u3∂u∂u∂u2112ε==∂x∂x1212∂x∂x21x2x1112.3.3应变张量三维情况下的应变张量x3∂u∂u13ε==

4、13∂x3∂x1∂u1∂x3x2∂u3x∂x11122.3.3应变张量应变张量的几何表示εxx=1ijij与应力张量、介电张量等二阶张量相似转动张量？ωxx=1??ijiju对于转动，有：u⋅x=0xux=ωxx=0iiijji132.3.3应变张量下标缩减σ1=σ11ε1=ε11σ2=σ22ε2=ε22σ3=σ33ε=εσ=ε=333λσ=σλ423ε4=2ε23σ5=σ13ε5=2ε13σ6=σ12ε6=2ε1214思考应力、应变张量与介电常数张量一样，都为二阶对称张量

5、。对于介电常数张量而言，张量的非零分量和独立分量个数与晶体对称性有关。那么应力张量和应变张量呢？15