第09讲 点的应变状态

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1、第三章金属塑性变形的力学基础第二节应变分析第二讲点的应变状态点的应变状态体积不变条件应变状态分析应变增量点的应变状态设任意点a(x,y,z)的应变分量：设线元ab=rr在三个坐标轴上的投影：dx,dy,dz方向余弦：长度：a)线应变变形后ab移至a1b1长度：在三个轴上的投影：dx+δu,dy+δv,dz+δw略去δr,δu,δv,δw的平方项两边同除以r2(3-43)式比较：b)切应变(线元变形后的偏转角）引NM⊥a1b1在ΔNMb1中，有由于故于是：如果没有刚体转动，就是切应变如果有刚体转动，纯剪变形引起的位移增量刚性转动引起的位移增量

2、去除刚性转动所以比较结论：若一点互相垂直的三个方向上的应变分量已知，则该点任意方向应变可求。一点的应变状态可以用过该点三个互相正交方向上的九个应变分量来表示。与应力状态相似，如果当坐标轴旋转后在新的坐标系中的九个应变分量与原坐标系中的九个应变分量之间的关系也符合学数上张量之定义，即εij为二阶对称张量。塑性变形时的体积不变条件设单元体初始边长为dx,dy,dz变形前的体积变形后边长变形后的体积展开，略去高阶微量体积变化率在弹性变形中，θ可正可负，在塑性变形中，认为体积不变θ为零。体积不变条件为对数应变表示的体积不变条件塑性变形时，三个线应变

3、分量不可能全部同号，绝对值最大的应变分量永远和另外两个应变分量的符号相反。例:一块长、宽、厚为120mm×36mm×0.5mm的平板，拉伸后在长度方向均匀伸长至144mm，若宽度不变时，求平板的最终尺寸。根据变形条件可求得长、宽、厚方向上的主应变（用对数应变表示)为：由体积不变条件得所以即所以，平板的最终尺寸为144mm×36mm×0.417mm点的应变状态与应力状态相比较点的应变张量与应力张量不仅在形式上相似，而且其性质和特性也相似。因此，在研究应变状态理论时，一些公式不需再推导，直接由与应力张量相似性得到，只要将应变张量中的线应变分量和

4、切应变分量分别与应力张量中的正应力分量和切应力分量相对应即可。1、主应变、应变张量不变量、主切应变和最大切应变、主应变简图（1）主应变过变形体内一点存在有三个相互垂直的应变主方向(也称应变主轴)，该方向上线元没有切应变，只有线应变，称为主应变。用ε1,ε2,ε3表示在主轴坐标系统中，应变张量为（2）应变张量不变量应变状态特征方程应变张量不变量（3）主切应变和最大切应变若ε1>ε2>ε3,则(4)主应变简图用主应变的个数和符号来表示应变状态的简图称主应变状态图，简称为主应变简图或主应变图。a)压缩类变形b)剪切类变形(平面变形)c)伸长类变形

5、特征应变为负应变，另外两个应变为正应变。一个应变为零，其他两个应变大小相等，方向相反。特征应变为正应变，另外两个应变为负正应变。2、八面体应变八面体线应变八面体切应变3、应变偏张量和应变球张量4、等效应变取八面体切应变绝对值的倍所得之参量称为等效应变，也称广义应变或应变强度。比较等效应变的特点1)是一个不变量；2)在塑性变形时，其数值上等于单向均匀拉伸或均匀压缩方向上的线应变。应变增量和应变速率张量1、速度分量和速度场速度分量：质点在单位时间内的位移称位移速度，位移速度在三个坐标轴上的投影称位移速度分量，简称速度分量。位移速度是坐标的连续函

6、数，又是时间的函数，或2、位移增量和应变增量位移增量:物体在变形过程中，在一个极短的时间dt内，其质点产生极小的位移变化量称为位移增量,记为dui全量应变和应变增量的概念全量应变:在变形的某过程或过程的某阶段终了时的应变应变增量：变形过程中某极短阶段的无限小应变速度分量：或位移增量分量：应变增量：代入几何方程即一点的应变增量也是二阶对称张量，称应变增量张量注意：dεij中的d不是微分符号，dεij不表示εij的微分。3、应变速率张量应变速率：单位时间内的应变称为应变速率将代入两边同除以时间dt或注意：是应变增量dεij对时间dt的微商，不是

7、εij对时间的导数。应变速率表示变形程度的变化快慢，它不但取决于成形工具的运动速度，而且与变形体的形状尺寸及边界条件有关，所以不能仅仅用工具或质点的运动速度来衡量物体内质点的变形速度。