无穷远点作为解析函数奇点时的讨论

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1、西安教育学院学报2000年第3期(总第44期)2000年9月10日出版无穷远点作为解析函数奇点时的讨论陈广锋,,摘要在复变函数中判定解析函数的奇点及其类别是一个难点尤其是无穷远,、,,点因其是一个抽象的理想的点这就更增加了解决问题的难度而在应用函数定理,,,解决积分问题中它又显得十分重要针对这一点本文通过三个方面来讨论这一问题。关键词无穷远点奇点解析函数;一、立和非孤立两类而孤立奇点根据函数在奇无穷远点点去心邻域内罗朗展式的主要部分的项数又,无穷远点是一个假想的理想点1639年可分为三类)笛沙格在《试图处理圆锥与平

2、面相交情况的丈`

3、可去奇点`主要部分。,,「计划草案》一书中首次将它定义为两平行线…孤立奇点m级极点(主要部分为有限多项’的公共点。在复变函数(自变量和函数值都是奇点{t本性奇点(主要部分为无限多项)复数的函数)中我们用下式和一些运算法则非孤立奇点,,来定义无穷大(co)并将复平面上与之对应需要说明的是通常泛指的解析函数是,的点定义为无穷远点。(为了讨论的方便,下允许有奇点的但它在复平面上必须有解析,面我们将把无穷大与无穷远点不加以区别)点它不包含象w一乏这种处处不解析的函`,、,、,。、~一1数:我,、们,定,义

4、/co~令一一O,1。并定义它:例在Z平面上只有奇点Z一和有限数的运算关系如下弩(加减法)a士co一co士a一coa(半0)在其去心邻域O<}ZI<+co内的罗朗展式(乘法)aXXa一。(a共0)o一co为C拭〕“(除法)一一co(a共0)翌卫兰一(一1)znZ一:一+…a习其Zn=O(Zn+1)!jJ,,,,在此意义下co士ooxcocoxo丝,其主要部分为O故z一0为的可去O_一、.弩下丁。尤息又奇点。U、、z二奇点三co作为f()的奇点。,.zzz。1:z若函数w一f()在点不解析但在定义设函数f()在无穷远

5、点的去心z,z。:rz的任一邻域内总有f()的解析点则称为邻域N一{co}o(<}}

6、主要部分为。_n·f(。z习级数f(z)=习n之1z“z:`(f()在一co处的主要部分正好是中(z)例2f(z)一e(e为常数)(o为可z`一在0处的主要部分)去奇点):(1)若z,一,z2224(co为4级极点)结论O为中(z)的可去奇点f()=3十5+8:一co为:或解析点=<冷f()的可去奇点“今”f(z)一5inz一(一l)n1习zZ+n。_。zn=0(Z+1)!习一。(co为本性奇点)n=1(z,z`z2)若=0为中()的m级极点=<冷z)在Z(2)若w一f(平面上有一列趋于zz,z一co为f()的m级

7、极点=<=>f()z在一co处无穷远点的奇点则co为f()的非孤立性奇。n·,点的主要部分为。一z(。一二井。即其主要部习nl=1例3W-snzeoszi十分为有限项),此函数因分母不能为0故其有有限奇(z``z3)若一O为中(z)的本性奇点“=>z二,,,,`一o为f(z)的本性奇点=<冷f(z)在z一co处点一k一(“一O士`士2士3…,及-晋n·。由的主要部分为。_z(其主要部分有无限o于有限奇点(它们各为一级极点)以。习n,。=1为极限故co为此函数的非孤立奇点多项不等于0);1一e例4W-,l十ez例5找

8、出函数`(z)一彝的奇点并讨,此函数因分母不能为0故其有有限奇论奇点的类型。z二,,,,点一(Zk+l)i(k~O士l士2士3…)及解:此函数在复平面上只有一个孤立奇。z一co由于有限奇点(它们各为一级极点)以.,,,。*10,,1、一上,~,,。点`一的令z一则得f()一e一。co为极限故co为此函数的非孤立奇点俞幸一.3一般解析函数(即异于上面两类的解`,z,z(z)而一O为此函数的解析点故一co为。析z一o为其孤立奇点。函数)此时f(z)的可去奇点,z)的孤立奇点讨论设co为f(我们利例6判定函数f(z)一e

9、卜告的奇点及其二,一一`1_。,。用变换z’一音于是类别:z,z,,l、,,,、解此函数有两个奇点~0一o’z)一zW一f(f(夕)一中()..、。,,,,_,.人0.1一一`1,z一zz`O,zO为此函数的本性奇点令一幸则当~>时一>co故可将讨论z)在co处的奇点性质问题得f(中(z`z`。e一`,z,转化为W~)在一O处的奇点问题在f(与一争而一。为此