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1、高等代数§6.2线性空间的定义与简单性质第二节线性空间的定义与简单性质第六章线性空间LinearSpace§6.2线性空间的定义与简单性质一、线性空间的概念定义1设V是一个非空集合,P是一个数域.在集合V的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法；这就是说，给出了一个法则，对于V中任意两个元素与，在V中都有唯一的一个元素与它们对应，称为与的和，记为=+.在数域P与集合V的元素之间还定义了一种运算,叫做数量乘法；这就是说，对于数域P中任一数k与V中任一元素，在V中都有唯一的一个§6.2线性空
2、间的定义与简单性质元素与它们对应，称为k与的数量乘积，记=k.如果加法与数量乘法满足下述规则，那么V称为数域P上的线性空间.加法满足下面四条规则：1)；2)()()；3)在V中有一个元素0，对于V中任一元素都有+0=(具有这个性质的元素0称为V的零元素)；§6.2线性空间的定义与简单性质4)对于V中每一个元素，都有V中的元素，使得+=0(称为的负元素).数量乘法满足下面两条规则：5)1=；6)k(l)=(kl).数量乘法与加法满足下面
3、两条规则：7)(k+l)=k+l;8)k(+)=k+k.§6.2线性空间的定义与简单性质在以上规则中，k,l表示数域P中的任意数;,,等表示集合V中任意元素.线性空间的元素也称为向量.当然，这里所谓向量比几何中所谓向量的涵义要广泛得多.线性空间有时也称为向量空间.一般用小写的希腊字母,,,…表示线性空间V中的元素，用小写的拉丁字母a,b,c,…表示数域P中的数.§6.2线性空间的定义与简单性质注◆向量空间的定义可简单记为“1128”，即一个数域P，这是基础域；一个集合Ｖ；两个运
4、算，又叫做线性运算；八条规则，其中前四条是加法的运算律，这时称Ｖ对加法做成一个加群，第五、六条是数量乘法算律，最后两条是分配律，表示两种运算之间的联系.§6.2线性空间的定义与简单性质例1在解析几何中，平面或空间中一切向量组成的集合V,对于向量的加法及实数与向量的乘法,构成实数域上的一个线性空间.例3全体定义在区间[a,b]上的连续函数组成的集合V,对于函数的加法及实数与连续函数的乘法,构成实数域上的一个线性空间.用C[a,b]表示.例2全体n维实向量组成的集合V,对于向量的加法及实数与向量的乘法,构成
5、实数域上的一个线性空间.§6.2线性空间的定义与简单性质例4数域P上一元多项式环P[x]，按通常的多项式加法和数与多项式的乘法，构成数域P上的一个线性空间.如果只考虑其中次数小于n的多项式，再添上零多项式也构成数域P上的一个线性空间，用P[x]n表示.但是，数域P上的n次多项式集合对同样的运算不构成线性空间，因为两个n次多项式的和可能不是n次多项式.§6.2线性空间的定义与简单性质例5全体数域P上的mn矩阵组成的集合V，按矩阵的加法和数与矩阵的数量乘法，构成数域P上的一个线性空间，用Pmn表示.例6
6、全体实函数，按函数的加法和数与函数的数量乘法，构成实数域上的一个线性空间.例7数域P按照本身的加法与乘法，即构成自身上的一个线性空间.§6.2线性空间的定义与简单性质例8全体数域P上的2维向量组成的集合V,定义数与向量的数量乘法如下:k⊙(a,b)=(ka，0),对于通常的向量加法及以上定义的数与向量的数量乘法不构成数域P上的线性空间.事实上,当b≠0时1⊙(a,b)=(1a，0)=(a，0)≠(a,b).§6.2线性空间的定义与简单性质注◆例8中集合V满足线性空间定义中的其他七条公理,可见第五条虽然比
7、较简单,但是不可由其他七条推出.◆在8条公理中只有第一条加法满足交换律不是独立的.证明∵2()＝22＝(1＋1)＋(1＋1)＝(1＋1)＋(1＋1)＝(＋)＋(＋)＝＋(＋)＋,§6.2线性空间的定义与简单性质2(＋)＝(1＋1)(＋)＝(＋)＋(＋)＝＋(＋)＋,∴＝.证毕§6.2线性空间的定义与简单性质二、线性空间的简单性质1.零向量是唯一的.证明假设01，02是线性空间V中的两个零向量.于是01=01+02=02.证毕故零
8、向量是唯一的.§6.2线性空间的定义与简单性质2.任意向量的负向量是唯一的.假设有两个负向量与，+=0，+=0.那么证毕向量的负向量记为-.证明则=+0=.=+(+)=(+)+=0+利用负向量，定义减法如下：-=+(-).§6.2线性空间的定义与简单性质3.0=0;k0=0;(-1)=-.证明+0=1+0=(1+0)=10=0.(-1)+=(-1)+1=[(-1)+1
