线性空间的定义与简单性质.ppt

《线性空间的定义与简单性质.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、§2线性空间的定义与简单性质§3维数·基与坐标§4基变换与坐标变换§1集合·映射§5线性子空间§7子空间的直和§8线性空间的同构§6子空间的交与和第六章线性空间§6.2线性空间的定义与简单性质一、线性空间的定义二、线性空间的简单性质§6.2线性空间的定义与简单性质§6.2线性空间的定义与简单性质一、线性空间（linearspace）的定义设V是一个非空集合，P是一个数域，在集合V中定义了一种代数运算，叫做加法：即对　　　　　，在V中都存在唯一的一个元素　与它们对应，称　为的和，记为　　　；在P与V的元素之间还定义了一种运算，叫做

2、数量乘法：即在V中都存在唯一的一个元素δ与它们对应，称δ为的数量乘积，记为如果加法和数量乘法还满足下述规则，则称V为数域P上的线性空间：§6.2线性空间的定义与简单性质加法满足下列四条规则：(1)（具有这个性质的元素0称为V的零元素）(2)(4)对都有V中的一个元素β，使得（β称为的负元素）(3)在V中有一个元素0，对§6.2线性空间的定义与简单性质(5)(6)数量乘法与加法满足下列两条规则：(7)数量乘法满足下列两条规则:(8)§6.2线性空间的定义与简单性质3．线性空间的判定：注意1．凡满足以上八条规则的加法及数量乘法也称为

3、2．线性空间的元素也称为向量，线性空间也称向量空间．但这里的向量不一定是有序数组．线性运算．就不能构成线性空间．运算封闭但不满足八条规则中的任一条，则此集合若集合对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者§6.2线性空间的定义与简单性质例1Pn,P[x]均为数域P上的线性空间．例2数域P上的次数小于n的多项式的全体，再添法构成数域P上的一个线性空间，常用P[x]n表示．上零多项式作成的集合，按多项式的加法和数量乘§6.2线性空间的定义与简单性质的加法和数量乘法，构成数域P上的一个线性空间，例3数域P上　　矩阵的全体作成的集合,按矩阵用

4、表示．例4任一数域P按照本身的加法与乘法构成一个数域P上的线性空间．§6.2线性空间的定义与简单性质例5全体正实数R＋，判断R＋是否构成实数域R上的线性空间.加法与数量乘法定义为：解：R＋不构成实数域R上的线性空间.⊕不封闭，如R＋．§6.2线性空间的定义与简单性质1、零元素是唯一的.2、的负元素是唯一的，记为-．证：假设有两个负元素β、γ，则有◇利用负元素，我们定义减法：01＝01＋02＝02．证：假设线性空间V有两个零元素01、02，则有二、线性空间的简单性质§6.2线性空间的定义与简单性质∴两边加上即得0＝0；∵∴两边加上

5、；即得k0＝0;3、证：∵§6.2线性空间的定义与简单性质∵∴两边加上－，即得∵，即得∴两边加上§6.2线性空间的定义与简单性质4、如果＝0，那么k＝0或＝0.假若证：则