线性空间的定义与性质

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1、§6.1线性空间的定义与性质一、线性空间的定义线性空间是线性代数最基本的概念之一,也是一个抽象的概念,它是向量空间概念的推广.线性空间是为了解决实际问题而引入的,它是某一类事物从量的方面的一个抽象,即把实际问题看作向量空间,进而通过研究向量空间来解决实际问题.定义:设V是一个非空集合,R为实数域.如果对于任意两个元素,V,总有唯一的一个元素V与之对应,称为与的和(简称加法运算),记作=+.若对于任一数R与任一元素V,总有唯一的元素V与之对应,称为数与的积(简称数乘运算),记作=

2、.如果上述的两种运算满足以下八条运算规律,那么,就称V为数域R上的线性空间(或向量空间):(1)加法交换律:a+b=b+a;(2)加法结合律:(a+b)+g=a+(b+g);(3)零元素:存在OV,对任一向量a,有a+O=a;(4)负元素:对任一元素aV,存在V,有a+=O,记=–a;(5)1a=a;(6)数乘结合律:k(la)=(lk)a;(7)数乘对加法的分配律:k(a+b)=ka+kb;(8)数量加法对数乘的分配律:(k+l)a=ka+la.设,,,OV,1,l,kR,说明1.凡满足以上

3、八条运算规律的加法及乘数运算统称为线性运算.说明2.向量(线性)空间中的元素称为向量,但不一定是有序数组.说明3.判别线性空间的方法:一个集合,对于定义的加法和数乘运算不封闭,或者运算不满足八条性质的任一条,则此集合就不能构成线性空间.(1)如果在一个集合上定义的加法和乘数运算是通常实数间的加,乘运算,则只需检验运算的封闭性.线性空间的判定方法:例1:实数域上的全体mn矩阵,对矩阵的加法和数乘运算构成实数域R上的线性空间,记作Rmn.Rmn中的向量(元素)是mn矩阵.例2:次数不超过n的多项式的全体记作P[x]

4、n,即P[x]n={p(x)=a0+a1x+···+anxn

5、a0,a1,···,anR}对通常多项式加法,数乘构成向量空间.通常的多项式加法,数乘多项式的乘法两种运算满足线性运算规律.实际上对p(x)=a0+a1x+···+anxn,q(x)=b0+b1x+···+bnxnP[x]n,R,=(a0+a1x+···+anxn)+(b0+b1x+···+bnxn)=(a0+b0)+(a1+b1)x+···+(an+bn)xnp(x)+q(x)=(a0+a1x+···+anxn)p(x)=a0+a1x+··

6、·+anxnP[x]n,所以P[x]n对线性运算封闭.例3:次数等于n的多项式的全体记作Q[x]n,即Q[x]n={p(x)=a0+a1x+···+anxn

7、a0,a1,···,anR,an0}对于通常的多项式加法,数乘不构成向量空间.多项式加法,数乘两种运算对Q[x]n不满足线性运算的封闭性.实际上P[x]n,对p(x)=a0+a1x+···+anxnQ[x]n,0R,0p(x)=0(a0+a1x+···+anxn)=0+0x+···+0xn=0Q[x]n.所以Q[x]n对线性运算不封闭.例4:正弦函

8、数的集合S[x]={s(x)=Asin(x+B)

9、A,BR}对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空间.对s1(x)=A1sin(x+B1),s2(x)=A2sin(x+B2)S[x],R,由于,s1(x)+s2(x)=A1sin(x+B1)+A2sin(x+B2)=(a1cosx+b1sinx)+(a2cosx+b2sinx)=Asin(x+B)=(a1+a2)cosx+(b1+b2)sinxS[x],s1(x)=A1sin(x+B1)=(A1)sin(x+B1)S[x],所以,S[x]是一个线

10、性空间.例5:在区间[a,b]上全体实连续函数构成的集合记为C[a,b],对函数的加法和数与函数的数量乘法,构成实数域上的线性空间.(2)一个集合,如果定义的加法和乘数运算不是通常的实数间的加,乘运算,则必需检验是否满足八条线性运算规律.例6:正实数的全体记作R+,在其中定义加法及乘数运算为:ab=ab,a=a,(R,a,bR+)验证R+对上述加法与乘数运算构成(实数域R上的)线性空间.证明:对任意a,bR+,R,ab=abR+,a=aR+,所以对R+上定义的加法与乘数运算封闭.下面验证

11、八条线性运算规律:对任意a,b,cR+,k,lR,(1)ab=ab=ba=ba;(2)(ab)c=(ab)c=(ab)c=a(bc)=a(bc)=a(bc);(3)存在零元1R+,对任意aR+,有a1=a1=a;(4)对任一元素aR+,存在负元素a-1R+,有aa–1=aa–1=1;(5)1a=a