资源描述：
《 第一节 线性空间的定义与性质.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第六章线性空间与线性变换本章是线性代数几何理论的基础知识，在此章中，我们介绍了线性运算、线性空间的概念，讨论线性空间中的向量组及其线性组合、线性相关性与线性无关和秩等概念，并通过引入向量的坐标，使一般的维线性空间与同构，从而在中可以得到许多平行于中的结论.第一节线性空间的定义与性质分布图示★引言★线性空间的定义★线性空间的判定方法★例1★例2★例3★例4★例5★例6★例7★例8★线性空间的性质★线性空间的子空间★例9★例10★例11★例12★例13★内容小结★课堂练习★习题6-1内容要点一、线性空间的定义定义1设是一个非空集合,为实数
2、域.如果对于任意两个元素,,总有唯一的一个元素与之对应,称为与的和,记作;若对于一数与任一元素,总有唯一的一个元素与之对应,称为与的积,记作.若上述的两种运算满足以下八条运算规律,那么就称为数域上的线性空间(或向量空间):设(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)注:①满足以上八条规律的加法及数乘运算,称为上的线性运算;②向量空间(或线性空间)中的元素称为向量,但向量空间中的向量不一定是有序数组.③在一个非空集合上,若对于所定义的加法和数乘运算不封闭,或者运算不满足八条性质的某一条,则此集合就不能构成向量空间.二、线性空间的性
3、质(1)零元素是唯一的.(2)任一元素的负元素是唯一的.(3)(4)若三、线性空间的子空间定义2设V是一个线性空间,L是V的一个非空子集,如果L对于V中所定义的加法和数乘两种运算也构成一个线性空间,则称L为V的子空间.定理1线性空间V的非空子集L构成子空间的充分必要条件是:L对于V中的线性运算封闭.例题选讲线性空间的定义例1设只包含一个元素，对于实数域R，定义，,可以验证上述运算好满足8条运算法则，0就是V的零元素，则是R上的一个线性空间，称之为零空间.例2(1)实数域R上的n元齐次线性方程组的所有解向量,对于向量的加法和数量乘法,构
4、成R上和一个线性空间,称为该方程组的一个解空间.(2)实数域R上的n元非齐次线性方程组的所有解向量,在上述运算下不能构成R上的线性空间,因为关于线性运算不封闭.例3(E01)记次数不超过n的多项式的全体为即试验证对通常的多项式的加法与数乘运算构成线性空间.证注意到通常的多项式的加法与数乘运算满足线性运算的八条规律,且即对运算封闭.故构成一线性空间.例4(E02)证明n次多项式的全体对于通常的多项式加法和数乘运算不构成线性空间.证对运算不封闭.因而不能构成一线性空间.例5正弦函数的集合,对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空间.证
5、是一个线性空间.例6(E03)n个有序实数组成的数组的全体对于通常的有序数组的加法及如下定义的数乘:,不构成线性空间.解虽然可证得对运算封闭,且不满足第五条运算规律.由于所定义的运算不是线性运算,故不是线性空间.例7(E04)设是由两端都无限的全体数值序列所构成的空间,通常记作如下:如果是中令一元素,是和中的对应项相加得到的新序列,数量乘积是序列.可以验证在中满足线性空间的运算规律.中的元素经常出现在工程学中,如在离散的时间段上信号的测量或采样.这种信号可以是电子的、机械的、光学的等.在本章的引言中介绍的航天飞机,它的中央控制系统使用
6、的就是离散信号.为了使用的方便,称为(离散时间)信号空间.它的直观意义如下图所示.例8(E05)正实数的全体记作,在其中定义加法及数乘运算为验证对上述加法与数乘运算构成线性空间.证故对定义的加法与数乘运算封闭.下面逐一验证八条线性运算规律:(1)(2)(3)中存在零元素1,对任何有(4)有负元素使(5)(6)(7)(8)所以对所定义的运算构成线性空间.线性空间的子空间例9在线性空间V中,由单个零向量组成的集合也是线性空间,称W为V的零子空间.而线性空间V也是其本身的一个子空间.在线性空间V中,零子空间{0}与线性空间V本身这两个子空间
7、有时称为平凡子空间,而V的其它子空间则称为非平凡子空间.例10（1）实数域R上所有次数不超过n的一元多项式组成的线性空间，是实数域R上所有一元多项式组成的线性空间的子空间.（2）数域R上的所有n阶数量矩阵组成的线性空间，是R上的所有n阶矩阵组成的线性空间的子空间。例11(E06)的下列子集是否构成子空间?为什么?(1)(2)解(1)不构成子空间.因为对有即对矩阵加法不封闭，不构成子空间.(2)因即非空.对任意，有于是，满足即对任意有且即故是的子空间.例12(E07)设是所有实系数多项式组成的集合,上的运算与函数空间内的定义相同.则是所
8、有定义在上的实值函数所组成空间的子空间,并且是的一个子空间.证若,不妨设,有即.又对于,有所以是所有定义在上的实值函数所组成空间的子空间.参考例1,易证是的一个子空间.例13(E08)设是所有形如的向量所构成的集合,其中
