线性空间地定义与简单性质.pdf

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1、§2线性空间的定义与简单性质一线性空间的定义与例子线性空间是线性代数的基本概念之一，也是我们碰到的第一个抽象的概念。为说明线性空间的来源，在引入其定义之前，先看以下几个例子。例1.在解析几何中，讨论过三维空间中的向量。向量的基本属性是可以按平行四边形规律相加，也可以与实数作数量乘3法。因此把R中所有向量的集合记为V，则V中元素之间就有加法，对V中的元可以有数乘这两种运算。例2.为了解线性方程组，我们讨论过以n元有序数组(a1，a2，…，an)作为元素的n维向量空间，对于它们，也有加法与数乘，即(a1，a2，…，an)+(b1，b2，…，bn)=(a1+b1，a2+b2，…，an

2、+bn)k(a1，a2，…，an)=(ka1，ka2，…，kan)例3.对于函数，也可以定义加法和函数与实数的数量乘法。如，考虑全体定义在区间[a，b]上的连续函数，已知，连续函数的和是连续函数，连续函数与实数的数量乘积还是连续函数。从以上三个例子可以看出，我们所考虑的对象虽然不同，但是它们有一个共同点，那就是它们都有加法和数量乘法这两种运算。当然，随着对象的不同，其运算也是不同的。但是，当抽去这些集合中对象（元素）的具体形式及定义运算的具体规则（例如函数的加法规则与向量加法的规则是完全不同的。）之后，从代数运算所遵从的规律上看，如果与普通向量上的运算规律并无本质的不同，那么，

3、也可把这些集合中的对象（元素）称为“向量”。当我们把这些对象当作向量之后，所研究的理论或实际问题通常变得非常简便。例如，在第三章讨论线性方程组时已经见到的，当把全体未知量作为一个n维向量来处理，使问题的讨论大为简化。因此，为了抓住它们的共同点，把它们统一起来加以研究，引入线性空间的概念。在例1中，我们用实数和向量相乘，例2中用什么数和向量相乘要看具体情况。若在有理数域中解线性方程组时，用有理数去作数量乘法就已经足够了，而在复数域中解线性方程组时，就需要用复数去作运算。可见，不同的对象与不同的数域相联系，当引入抽象的线性空间的概念时，也必须选定一个确定的数域作为基础。定义1设V是

4、一个非空集合，P是一个数域，在集合V的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法；这就是说，给出了一个法则，对于V中任意两个元素与，在V中都有唯一的一个元素与它们对应，称为与的和，记为=+。在数域P与集合V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法；这就是说，对于数域P中任一数k与V中任一元素，在V中都有唯一的一个元素与它们对应，称为k与的数量乘积，记为=k。如果加法与数量乘法满足下述规则(下面八条)，那么V称为数域P上的线性空间。加法满足下面四条规则：1)+=+；2)(+)+=+(+)；3)在V中有一个元素，对于V中任一元素，都有+=；(具有这种性质的元素称为V的零元素)4)对于V中

5、每一个元素，都有V的元素，使得+=；(称为的负元素)数量乘法满足下面两条规则：5)1=6)k(h)=(kh)数量乘法与加法满足下面两条规则：7)(k+h)=k+h;8)k(+)=k+k.在以上规则中，k，h等表示数域P中的任意数；，，等表示集合V中任意元素。3由定义可知，几何空间中全部向量组成的集合是一个实数域上的线性空间，可记为R；分量属于数域P的全体n元数组n构成数域P上的一个线性空间，这个线性空间用P表示。例3．[a，b]上连续函数之集是实数域上的线性空间，可用C[a，b]表示。下面再来举几个例子。例4—例7.(P244)线性空间的元素也称为向量，线性空间有时也称为向量空

6、间。今后我们常用黑体的小写希腊字母，，，…代表线性空间V中的元素，用小写的拉丁字母a，b，c，…代表数域P中的数。二简单性质由定义我们可直接证明线性空间的一些简单性质。1.零元素是唯一的。2.负元素是唯一的。3.0=；k=；()=(参见P116，证明完全相同)4.如果k=，那么k=0或者=。这些性质的证明见书P245，另外要注意一些记法和规定。向量的负元记为。利用负元素定义减法如下=+作业：3.6)，7)，8)