线性空间的定义

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1、１　线性空间的定义那么，就称为（实数域上的）向量空间（或线性空间），中的元素不论其本来的性质如何，统称为（实）向量．简言之，凡满足八条规律的加法及乘数运算，就称为线性运算；凡定义了线性运算的集合，就称为向量空间．２　线性空间的性质３　子空间定义设是一个线性空间，是的一个非空子集，如果对于中所定义的加法和乘数两种运算也构成一个线性空间，则称为的子空间．定理线性空间的非空子集构成子空间的充分必要条件是：对于中的线性运算封闭．定义４　线性空间的维数、基与坐标定义一般地，设与是两个线性空间，如果在它们的元素之间有一一对应关系，且这个对应关系保持线性组合的对应，那么就说线性空间与同

2、构．线性空间的结构完全被它的维数所决定．任何维线性空间都与　同构，即维数相等的线性空间都同构．５　基变换６　坐标变换７　线性变换的定义变换的概念是函数概念的推广．８　线性变换的性质９　线性变换的矩阵表示10　线性变换在给定基下的矩阵同一线性变换在不同基下的矩阵是相似的，反之，相似矩阵也可以看成是同一线性变换在不同基下的矩阵．11　线性变换在不同基下的矩阵典　型　例　题一、线性空间的判定二、子空间的判定三、求向量在给定基下的坐标四、由基和过渡矩阵求另一组基五、过渡矩阵的求法六、线性变换的判定七、有关线性变换的证明八、线性变换在给定基下的矩阵九、线性变换在不同基下的矩阵线性空

3、间中两种运算的８条运算规律缺一不可，要证明一个集合是线性空间必须逐条验证．若要证明某个集合对于所定义的两种运算不构成线性空间，只需说明在两个封闭性和８条运算规律中有一条不满足即可．一、线性空间的判定解解二、子空间的判定证一三、求向量在给定基下的坐标证二四、由基和过渡矩阵求另一组基解五、过渡矩阵的求法解一由过渡矩阵的定义有整理得从上面的解法可以看到，由定义出发，利用解方程组，求出线性表达式中的系数，得到过渡矩阵，这种方法计算量太大，因此，当线性表达式不容易得到时，可采用下面的解法．解二引入一组新的基解六、线性变换的判定七、有关线性变换的证明解解八、线性变换在给定基下的矩阵九

4、、线性变换在不同基下的矩阵解第六章　　测试题一、填空题(每小题4分，共24分)．则向量在这组基下的坐标为称为线性二、解答题(每小题8分，共16分)．五、下列变换是否线性变换？为什么？(每小题5分，共10分)．1．求由前一个基到后一个基的过渡矩阵；2．求向量在后一个基下的坐标；3．求在两个基下有相同坐标的向量．求的值域与核的维数和基．求的特征值与特征向量．一个基求微分运算在这个基下的矩阵．对于函数的线性运算构成3维线性空间，在中取测试题答案维数为6．