交汇复习参考高考数学中平面向量与其它知识的

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1、改革开放的三十多年，我国经济得到了巨大的发展，已经从依赖资源、廉价劳动力的时代进入知识经济时代。知识经济条件下，创新将成为经济增长的根本所在。何以创新？人力资源管理成为关键。公司若要在竞争的社会中立于不败之地，必须把人才资源放在第一位，只有有效、合理、科高考数学中平面向量与其它知识的交汇　　山东省尚林涛向量由于具有几何形式和代数形式的“双重身份”，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为联系多项内容的媒介。向量与平面解析几何，特别是其中直线部分保持着天然的联系，同时平面向量是处理其它问题的重要方法，通过将元素间的关系转化为数

2、量关系，将过去的形式逻辑证明转化为数值计算，化繁难为简易，是一种重要的解决问题的手段和方法。平面向量的高考考查要求，其一是主要考查平面向量的性质和运算法则，向量的坐标表示及运算。其三是和其他数学内容结合在一起，如可以和曲线、数列等基础知识结合，考查逻辑推理和运算能力等综合运用数学知识解决问题的能力。本文例析高考数学中平面向量与其它知识的交汇及解题策略.一、平面向量与不等式的交汇例1设a、b为不相等的正数，求证：证明：设m=(a,b),n=(a2,b2),利用向量的数量积不等式有

3、m

4、

5、n

6、≥

7、m·n

8、,由于a≠b，故ab2

9、-a2b≠0，也即向量m与n不是平行向量，故

10、m

11、

12、n

13、

14、m·n

15、,

16、m

17、2

18、n

19、2＞

20、m·n

21、2即成立.金点子：从整体结构上发现不等式与向量不等式有相似之处，避免了取差比较的繁琐。二、平面向量与函数的交汇例2已知平面向量若存在实数x和k,使(1)试求函数关系式k=f(x);(2)讨论函数k=f(x)的单调性并求出极大值与极小值.解：(1).5(2)当x变化时，,k的变化情况如下表：x(-∞,-1)-1(-1,1)1(1,+∞)+0-0+k↗极大值0.5↘极小值-0.5↗∴k=f(x)在（-∞，-1）及（1，+∞）上是增函

22、数，在（-1，1）上是减函数.当x=-1时，k=f(x)有极大值0.5，当x=1时，k=f(x)有极小值-0.5金点子：第（1）小题关键是发现，以简化计算，利用，建立函数表达式；第（2）小题利用导数不难解决.三、平面向量和三角函数的交汇例3平面直角坐标系内有点P(1,cosx),Q(cosx,1),,(1)求向量的夹角θ的余弦用x表示的函数f(x);(2)求θ的最值.解：（1）（2）金点子：第（1）小题利用向量夹角公式问题便可解决；第（2）题注意到0≤θ≤π，要求出θ的最值，只需求出cosθ的最值.四、平面向量与解析几何中

23、的交汇QP0Rxy例4已知椭圆直线P是上一点，射线OP交椭圆于R，又Q在OP上且满足当点P在上移动时，求点Q5的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.解：如下图不妨设因为且所以所以，有并将其代入直线方程，得…①同理，所以知有代入椭圆方程，得…②由①、②得所以点Q的轨迹方程为椭圆金点子：利用两个非零向量a与b共线的充要条件是有且只有一实数λ，使得b=λa.当a与b同方向时，有b=λa；当a与b反方向时，有b=-λa.五、平面向量在物理中的应用例5一重物m用绳悬起如下图，绳的另一端系在天花板上，绳长=0.5m，重物经推动后，在一水平

24、面内作匀速圆周运动，转速n=1转/秒，求这时绳和竖直方向所成的角度（g取10米/秒2）.mf解：重物作匀速圆周运动时，加速度是向心加速度，由牛顿第二定律知：在竖直方向上，

25、T

26、cosθ=

27、G

28、=mg(其中为绳与竖直方向所成的角)①，在水平面内，重力所受合力大小

29、f

30、=

31、T

32、sinθ,即

33、T

34、sinθ=

35、f

36、=m

37、a

38、(其中a为向心加速度)，…②由①②得…③圆半径R=sinθ,圆周长为2πsinθ，故重物在圆周上的速度大小为

39、v

40、=

41、2πnsinθ

42、而…④把④代入5③得…⑤代入已知数字得cos=0.5,故θ=60o由⑤可知，

43、物体转速n愈大，θ也愈大.金点子：本题是利用向量求解物理问题，物理中力的合成，速度的合成等都与向量有关.六、平面向量与其它知识的综合交汇例6（2002年江西、山西、天津高考试题）已知两点M（-1，0），N（1，0），且点P使成公差小于零的等差数列。（1）点P的轨迹是什么曲线？（2）若点P坐标为（x0,y0）,记为与的夹角，求tanθ解(1)记P(x,y),由M(-1,0),N(1,0)得==（-1-x,-y）,==(1-x,-y)∴.,,,是公差小于零的等差数列，等价于，所以，点P的轨迹是以原点为圆心，为半径的右半圆.(2

44、)点P坐标为（x0,y0）,∴,,金点子:此小题以二次曲线为背景，以向量的数量积为工具，综合考察了等差数列、轨迹方程等基础知识，真正体现了高考在知识的交汇处出题的新动向。综上所述，以平面向量为工具把其它问题化归为简单的向量计算，变抽象的逻辑推理为具体的向量运算，实现了数与形的结合，所以平面向量为载体的数