高考数学向量与向量法复习

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1、专题七：高考数学向量与向量法复习一．考点与回顾1．平面向量是教材新增内容之一，其数形结合的特点使得它成为高中数学教学中继函数之后的第二条主线．向量是数学中重要概念之一．向量为解决数学、物理中的问题提供了新的工具.2.有关平面向量的考查热点在两个方面：一是对向量基本概念、基本运算的考查；二是对向量的工具作用的考查，即运用向量知识解决平面几何、解析几何、三角函数等中的简单问题．3.随着新教材的普遍使用，“向量”将会成为命题热点，一般选择、填空题重在考查平面向量的概念、数量积及其运算律，解答题重在考查平面向量的综合应用，常与函数、三角函数、平面解析几何、立体几何、数列等知识结合起来

2、考查．对本专题的复习应立足基础，强化运算，重视应用．数形结合思想在本专题中将得到淋漓尽致的体现．4．在全国各省市的高考试卷中，向量在各种题型中都有出现.选择题、填空题的形式主要考查向量的模、夹角、数量积以及向量间的关系等基础知识与基本技能．而在解答题中则主要与三角形、函数、空间几何体、圆锥曲线等结合、交汇.5．按教材编排体系，解三角形在本专题中复习，即正、余弦定理(及其各种变形)运用于三角形形状的判断、证明三角形中的边角恒等式、定比分点及求解有关实际应用问题这也是高考热点之一．6．对于学有余力的学生，可以适当补充简单的空间解析几何知识，如空间直角坐标系中平面的方程(特别是平面

3、的截距式方程)，点到平面的距离公式等.7．知识网络二．经典例题剖析考点一：向量的概念与运算例题1：下面有四个关于向量数量积的关系式：①0·0＝0；②(a·b)·c＝a·(b·c)；③a·b＝b·a；④

4、a·b

5、≤a·b其中正确的是()A.①②B.②③C.③④D.①③解析：根据向量运算法则，①和③是正确的.对于②，(a·b)·c是一个与向量c平行的向量，而a·(b·c)是一个与向量a平行的向量，通常情况下不正确；对于④，

6、a·b

7、是一个正实数，而a·b可能是一个负实数.答案：D点评：从向量的基本运算法则出发，细心判断.这里要特别注意向量0与实数0的区别.例题2：平行四边形OAC

8、B中，BD＝BC，OD与BA交于E，求证：BE＝BA证明：设E’是AB上一点，且BE’＝BA只需证E、E’重合即可，设，则∵∴3(∴∴，∴O、E’、D三点共线，即E、E’重合∴BE＝BA点评：用向量方法证明平面几何问题，首先是选择一组适当的基底向量，然后再设法将其余相关向量都用基底向量表示出来，这样，相关点、线关系就能很容易第凸现出来.考点二：定比分点与解三角形例题3：已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标分别是A(－2，1)，B(3，4)，C(－1，3)，则第四个顶点D的坐标为()A.(2，2)B.(－6，0)C.(4，6)D.以上都不对解析：本题只需要抓住平行四边形的两条对

9、角线互相平分，于是设D(x,y)，有－2＋(－1)＝3＋x且1＋3＝4＋y从而x＝－6,y＝0答案：B点评：利用平面几何性质及中点坐标公式，是解决本题的要点.例题4：已知C为线段AB上一点，P为直线AB外一点，满足

10、

11、＝2，

12、－

13、＝2，，I为PC上一点，且＝＋λ()(λ＞0)，则的值为_______.[点拨]确定PC、AI分别为∠APB、∠BAP的平分线，进而确定I在三角形中的位置.解：cos∠APCcos∠BPC所以∠APC＝∠BPC，即PC平分∠APB∵(λ＞0)∴(λ＞0)又均为单位向量，由向量的平行四边形法则，知AI平分∠PAB又I在PC上，故I是△ABP的内心又co

14、s∠IBD＝(D为⊙I与AB的切点)由＝2又解得：cos∠IBD＝＝－1[点评]1、三角形中四心的向量表示：2、本题通过内切圆的切点D找出相关的数量关系，技巧性较强，考查圆的切线性质.考点三：向量与立体几何例题5：如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AB＝2DC＝2，E为BD1的中点，F为AB的中点.(1)求证：EF∥平面ADD1A1；(2)若BB1＝，求A1F与平面DEF所成角的大小.解析：(1)连结AD1，在△ABD1中，∵E、F分别是BD1、AB的中点，∴EF∥AD1.又EFË平面ADD1A1∴EF∥平面ADD1A1(2)建立

15、如图所示的空间直角坐标系D－xyz(DG是AB边上的高)则有A1()，F(，0)D1(0，0，)，B(，0)∴E()设平面DEF的法向量为＝(x，y，z)则Þ解得y＝－x，z＝x取非零法向量＝(1，－，)∴A1F与平面DEF所成的角即是所成锐角的余角由cos<>＝＝＝－∴A1F与平面DEF所成教的大小为－arccos，即arcsin.点评：立体几何中，二面角问题几乎每年必考，几何法也有很多解决方法，如直接法、垂面法、三垂线法、面积射影法等等，这些方法都离不开严密的逻辑证明.而向量法则以算代证，从一定程度