高考数学复习点拨 《向量及向量的加法与减法》误区何在

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1、《向量及向量的加法与减法》误区何在由于向量具有几何与代数两个方面的特征，因此，对向量及相关概念的理解上易混同于实数，向量加法与减法容易混淆于代数的加法与减法，即容易混淆其几何与代数性质而造成错误.下面举例说明.误区一：混淆向量与实数0例2在下列四个不等式中，正确等式的个数是()①－＝0；②＋＝；③若＝，＝，则＋＝0；④

2、

3、－

4、

5、＝A.1B.2C.3D.4错解：四个式子都正确，故选D.剖析：①错：因为两个向量相减仍是向量，－应得向量；②式正确；③错：因为两个零向量之和为零向量，④错：因为向量的长度是实数，它们的差

6、

7、－

8、

9、应是实数0，因而正确答案应选A.特别提醒：对向量概念的理解及进

10、行向量运算时要注意与数量及数量运算的区别：向量的加减运算结果仍是向量，数量的加减运算结果仍是数量.误区二：混淆向量平行与直线平行例2下列命题中正确的命题个数是（　　　）①若∥且∥，则∥；②若∥，则直线AB∥CD；③若与共线，则A、B、C、D四点共线.A.0B.1C.2D.3错解：全部正确，选D.剖析：①错：因为与直线平行的传递性混淆所致.若＝，则与可以为任意向量，因此得不到∥；②错：这是因为把平行向量的概念与平行直线的概念等同所致.因为∥只能说明这两个向量的方向相同或相反，所以当A、B、C、D四点在一条直线上时，可得∥，但不能得出AB∥CD.③错：错误原因是把向量共线与平面几何中的

11、线段共线等同.在平面几何中，若AB与CD共线，可得A、B、C、D四点共线；而与共线，即与是平行向量，与的方向相同或相反即可，当然A、B、C、D四点不一定共线.特别提醒：注意平行向量与平行直线、共线向量与线段共线是既有联系又有区别的，在解题时不能等同.误区三：混淆路程和位移的概念图1例3一架飞机向北飞行300km，然后改变方向向西飞行300km，最后又改变方向再向北飞行300km，求飞机飞行三次位移和.错解：300×3＝900(km)，即飞机飞行三次的位移和为900km.剖析：上述解法混淆了路程和位移的概念，路程只有大小，没有方向，而位移是向量，既有大小又有方向，其运算遵循平行四边形

12、法则或三角形法则.正解：如图1所示，

13、

14、＝

15、

16、＝

17、

18、＝300，

19、

20、＝300，

21、

22、＝600,故

23、

24、＝＝300，tan∠EAD＝＝＝2，故∠EAD＝arctan2，因为＋＋＝，所以飞机飞行三次位移的和是，它的大小是300km，方向是西偏北arctan2.特别提醒：在物理学中除位移外，还有许多物理量都属于向量，如速度、加速度、力等，因此在利用向量解答与物理学中相关的量问题时，一定要弄清楚量的性质.误区四：忽视向量减法的几何意义图2图3图4例4计算：(1)如图2，求－；(2)如图3，求－；(2)如图4，求－.错解：(1)－＝；(2)－＝；(3)－＝.图5图6剖析：错解错误的原因是不理解向量

25、减法的几何意义，要求两个向量的差，应该将它们的起点平移至同一个点，然后将它们的终点连结起来，并且指向被减向量.正解：(1)－＝.(2)如图5，过点A作＝，则－＝－＝.(3)如图6，过点A作＝，则－＝－＝.特别提醒：利用三角形法则进行向量的减法运算时注意两点，一是两个向量共起点，二是所得向量方向指向被减向量的终点；利用三角形法则进行加法运算时也要注意两点，一是向量必须首尾相接，二是所得向量方向指向最后一个向量的终点.误区五：错用实数运算律或运算法则图7例5如图7，已知矩形ABCD，

26、

27、＝1，

28、

29、＝2，设＝，＝，＝，则

30、＋＋

31、＝______.错解：

32、＋＋

33、＝

34、

35、＋

36、

37、＋

38、

39、＝3＋.剖析

40、：上述解法受实数运算律和运算法则的影响致错.由向量的三角形法则有

41、＋＋

42、＝

43、＋＋

44、＝

45、＋＋

46、＝

47、＋

48、＝2

49、

50、＝4.特别提醒：在向量的加减法运算中要善于运用向量的加法运算的交换律、结合律，向量加法的三角形法则，及加减法的互化等法则，千万莫与实数的运算律或运算法混淆.