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1、第37课向量及向量的加法和减法●考试目标主词填空1.向量的有关概念①既有大小又有方向的量叫做向量.②向量的长度(模)是指向量的大小.③平行向量(共线向量)的概念是方向相同或相反的非零向量.④两向量相等的充要条件是同向等长.2.向量的加、减法运算①几何法:有三角形法则，平行四边形法则.②坐标法，设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(,),a-b=().●题型示例点津归纳【例1】下列情形中向量的终点各构成什么图形?(1)把平面中一切单位向量归结到共同的始点；(2)把空间中一切单位向量归结到共同的始点；(3)把平行于某一平面的一切单
2、位向量归结到共同的始点；(4)把平行于某一直线的一切向量归结到共同的始点(在同一平面内).【解前点津】在(1),(2)中,始点到终点的距离是常量1,(3)是平面图形.【规范解答】(1)以始点为圆心的单位圆；(2)以始点为球心，半径为1的球面；(3)以始点为圆心且与已知平面平行的单位圆.(4)是以始点为间断点的一条直线.【解后归纳】向量经平移后，不改变方向与大小，仅仅是“变更位置”而已.【例2】(1)设ABCD-EFGH是一个平行六面体(如图(1))，在下列各对向量中，找出相等的向量和互为反向量的向量.①,;②,;③,;④,;⑤,.例2题图(2
3、)设△ABC和△A′B′C′分别是三棱台ABC—A′B′C′的上、下底面(如图（２）)，试在向量、、、,,,,,中找出共线向量和共面向量.【解前点津】对两个向量而言，不论处于何种位置，等长同向则相等；等长反向则互反.【规范解答】(1)相等向量有(2),(3),(5),互为反向量的有(1),(4).(2)共线向量有:与,与,与;下面一组向量是共面向量:,,,,,【解后归纳】正确理解有关概念是关键，如共面向量，就是在空间中，对向量施行平移动作，使它们最后都落在同一平面内，那么这些向量就是共面向量.【例3】平面内给定三个向量:a=(3,2),b=(
4、-1,2),c=(4,1),解答下列问题.(1)求3a+b-2c;(2)求满足a=mb+nc的实数m,n;(3)若(a+kc)∥(2b-a),求实数k;(4)设d=(x,y)满足(d-c)∥(a+b)且
5、d-c
6、=1,求d.【解前点津】直接运用坐标运算.【规范解答】(1)3a+b-2c=3(3,2)+(-1,2)-2·(4,1)=(9,6)+(-1,2)+(-8,-2)=(9-1-8,6+2-2)=(0,6).(2)由条件得:(3,2)=m·(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n),∴解之.(3)∵(a+kc)∥(2b-a)又a+
7、kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),∴2×(3+4k)-(5)×(2+k)=0解之:k=-.(4)∵d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4),又(d-c)∥(a+b)且
8、d-c
9、=1,故得方程组解之得或∴d=或【解后归纳】本题使用了两向量平行的充要条件:在向量式中:a∥ba=λb.在坐标式中:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥bx1y2-x2y1=0.【例4】例4题图已知四边形ABCD中,=a-2c,=5a+6b-8c,对角线、的中点分别为E,F,求.【解前点津】∵E、F是中点,∴+=0,+=0.利用向量加
10、法的多边形法则可列出若干个等式，综合利用这些“讯息”,就能用a,b,c表示.【规范解答】由条件可得:+++=0①+++=0②①+②得:2+(+)+++(+)=0.∵F,E是中点,∴+=+=0,∴2=-(+)=+,∴=(+)=［(a-2c)+(5a+6b-8c)］=3a+3b-5c.【解后归纳】对任何图形而言，都有:.●对应训练分阶提升一、基础夯实1.△ABC中,已知=3,则等于()A.(+2)B.(+2)C.(+3)D.(+2)2.如果点M是△ABC的重心,D、E、F分别为、BC、CA中点，那么等于()A.6B.-6C.0D.63.λ、μ、γ
11、∈R,则λ+μ+γ=0成立的充要条件是()A.
12、λ
13、=
14、μ
15、=
16、γ
17、B.λ=μ=γC.λ+μ+γ=0D.λ=μ=γ=04.如果=a,=b,那么a=b是四点A、B、C、D构成平行四边形的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件5.使等式
18、a+b
19、=
20、a
21、+
22、b
23、成立的充要条件是()A.a∥b且同向B.a=bC.a⊥bD.a、b中有06.已知a=(1,2),b=(x,1),且a+2b与2a-b平行，则x等于()A.1B.2C.D.7.若向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则c等于()A.a+
24、bB.a-bC.a-bD.a+b8.若a,b是不共线的两个向量，且=λ1a+b,=a+λ2b,(λ1、λ2∈R),则A、B、C三点共线的充要条件是()A.λ1=λ2
