聚焦全国高考数学平面向量的“交汇性”

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1、聚焦2011年高考数学平面向量的“交汇性”向量是新课程新增内容，具体代数与几何形式的双重身份，它有着极其丰富的实际背景，用向量证明几何中有关平行、共线和垂直的命题，用向量计算角度和距离，用向量表示点的轨迹，以及用向量处理三角恒等变形，证明不等式，求解函数的最值，较之传统方法更为简捷。作为中学数学的一个新的知识“交汇点”，向量与三角函数、解析几何、数列、不等式的综合题成为各类考试中考查的一个新热点。本文将该部分2005年高考试题作一归纳总结，供参考。矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。一．平面向量与函数的交汇例1．（2005年上海市高考数学

2、试题）已知函数的图象与轴分别相交于点A、B，（分别是与轴正半轴同方向的单位向量），函数。聞創沟燴鐺險爱氇谴净。（1）求的值；（2）当满足时，求函数的最小值。分析：向量的方向向量实际上它是继直线的斜率、倾斜角以后的第三个表示直线方向的等重要概念。要学会并善于运用它来求解.残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。解：（1）由已知得于是（2）由即由于，其中等号当且仅当x+2=1，即x=－1时成立，∴时的最小值是－3.例2．（2005年湖北省高考数学试题）已知向量在区间（－1，1）上是增函数，求t的取值范围.分析：本小题主要考查平面向量数量积的计算方

3、法、利用导数研究函数的单调性，以及运用基本函数的性质分析和解决问题的能力.酽锕极額閉镇桧猪訣锥。解：依定义开口向上的抛物线，故要使在区间（－1，1）上恒成立.评注：利用向量的数量积可以把问题转化为代数表达形式，即而运用代数方法——高次求导法、二次判别式法、配方法、均值不等式法求解.彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。一．平面向量与不等式的交汇例3．（2005年浙江省高考试题）已知向量≠，

4、

5、＝1，对任意t∈R，恒有

6、－t

7、≥

8、－

9、，则（）謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。(A)⊥(B)⊥(－)(C)⊥(－)(D)(＋)⊥(－)解：对任意t∈R，恒有

10、

11、－t

12、≥

13、－

14、，故两边平方得：又上式对任意t∈R，恒成立，即有：故当时，上式成立，本题应选（C）例4．(2005年江西省高考试题)在△OAB中，O为坐标原点，，则当△OAB的面积达最大值时，（D）厦礴恳蹒骈時盡继價骚。A．B．C．D．解：由三角形面积公式：又应选（D）.二．平面向量与三角的交汇向量与三角的交汇就是当今高考命题的一个热点.它常常包括向量与三角函数化简、求值与证明的交汇、向量与解三角形的交汇、向量与三角函数的图象与性质的交汇等几个方面.茕桢广鳓鯡选块网羈泪。例5．（2005年山东省高考试题）．已知向量和，且求的值

15、.解:∵∴===由已知,得又评注：本题是以向量的模为背景，结合三角函数化简求值等有关知识进行考查。例6．（2005年天津市高考试题）在直角坐标系xOy中，已知点A(0，1)和点B(3，4)，若点C在∠AOB的平分线上且

16、

17、=2，则__________。鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。解：设，则的终边在第2象限，即且，又由，得所以：，得：.一．平面向量与解析几何的交汇以解几为知识为载体，以向量为工具，以考查圆锥曲线性质和向量有关公式、性质及应用为目标的平面向量与解析几何的交汇试题是近几年高考试题的一个热点.籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。例7．（

18、2005年全国卷Ⅰ文科试题）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与共线。預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。（Ⅰ）求离心率（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值。（I）略解：离心率e=.（II）证明：（1）知，所以椭圆可化为设，由已知得在椭圆上，即①由（1）知又，代入①得故为定值，定值为1.例8．（2005年福建省高考试题）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为（1）求双曲线C的方程；（2）若直线与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且（其中O为原点）.求k的取值范围

19、.分析：这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题，可以设法得到关于的不等式，通过解不等式求出的范围，即：“求范围，找不等式”。或者将表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出的范围。渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。解：（Ⅰ）略解：双曲线C的方程为（Ⅱ）将由直线l与双曲线交于不同的两点得即①设，则而于是：②由①、②得故k的取值范围为本题通过平面向量的数量积与解析几何的交汇知识点，形成一求解参数k的取值范围的综合题，它既考查了平面向量的概念和运算，也考查了解析几何中的有关直线与圆锥曲线的相关问题。.铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。一．平面向量与平面几

20、何的交汇平面向量与平面几何的交汇试题，既考查平面向量的概念与运算，也考查了平面几何知识，同时考查了向量知识在平面几何问题中的运用.擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。例9．（2005年湖南省高考试题）P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的（　）A．外心　B．内心　C．重心　D．垂心解：由条件知