高考数学聚焦函数网络交汇问题

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1、聚焦函数网络交汇问题陕西洋县中学（723300）刘大鸣陈建强1函数与导数的网络交汇导数应用的广泛性，为解决函数问题提供了一般的方法，其几何意义又沟通了函数与解析几何的关系，将解析法与函数及导数有机的结合，形成了函数网络交汇问题。例1（05湖南）已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝ax2＋bx，a≠0.（Ⅰ）若b＝2，且h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；（Ⅱ）设函数f(x)的图象C1与函数g(x)图象C2交于点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1，C2于点M、N，证明C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.简析：（I）利用导数

2、研究函数的单调性“简单且具有操作性”，借助二次函数区间上的研究方法解决：，则因为函数h(x)存在单调递减区间，所以<0有解.又因为定义域x>0，则ax2+2x－1>0有x>0的解.化归为二次函数在区间上的函数值和自变量同时都大于0有解的问题，分类利用根的分布解决。①当a>0时，y=ax2+2x－1为开口向上的抛物线，由△=4+4a>0，则ax2+2x－1>0总有x>0的解；②当a<0时，y=ax2+2x－1为开口向下的抛物线，则ax2+2x－1>0总有x>0的解；于是问题化为方程h(x)=ax2+2x－1=0至少有一正根.注意到h(0)=-1<0,a<0，只需△=4+

3、4a>0，即－1

4、同证法一得因为，所以整体变量换元化归，令，得②构造函数令因为，所以时，故在[1，+上单调递增.从而，即于是在[1，+上单调递增.故即这与②矛盾，假设不成立.故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.评注：反正法证题中如何构造矛盾？本题借助函数的单调性制造矛盾值得借鉴。2函数与不等式解法的网络交汇例2（江西05）已知函数（a，b为常数）且方程f(x)－x+12=0有两个实根为x1=3,x2=4.（1）求函数f(x)的解析式；（2）设k>1，解关于x的不等式；简析根的意义切入待定系数；等价转化化归含参数的不等式如何分类？确定同一分类标准，检验分类的完备性。（1）将得

5、（2）分式不等式同解变形化归高次不等式，“根轴法”分类求解。不等式即为。即研究三根的大小分3类：①当；②当③.评析：认识函数和不等式及方程之间的一一对应关系，它们相辅相成互想转化使思维的切入点，含参数的问题应学会分类标准一致，检验分类是否完备？3函数与不等式证明的网络交汇例3（05辽宁）已知函数设数列}满足，数列}满足（Ⅰ）用数学归纳法证明；（Ⅱ）证明简析：本题由数列为特殊的函数切入，主要考查数列、等比数列、不等式等基本知识，考查运用数学归纳法和不等式及数列求和解决有关问题的能力。（Ⅰ）函数意义切入，数学归纳法证明不等式。当因为a1=1，所以下面用数学归纳法证明不等式

6、（1）当n=1时，b1=，不等式成立，（2）假设当n=k时，不等式成立，即那么所以，当n=k+1时，不等也成立。根据（1）和（2），可知不等式对任意n∈N*都成立。（Ⅱ）放缩法证明数列和的不等式。从（Ⅰ）知同项切入，求和放大用等比数列有限项的求和公式，放大为各项和有故对任意评注：函数意义构成的数列和的不等式常常用“数学归纳法”或“放缩法求和”证明，其中递缩的等比数列的有限项的和放大为无限项的和用公式简化求解是常用的方法和技巧。4函数与导数和不等式的网络交汇例4（05辽宁）函数在区间（0，+∞）内可导，导函数是减函数，且设是曲线在点（）得的切线方程，并设函数（Ⅰ）用、、

7、表示m；（Ⅱ）证明：当；（Ⅲ）若关于的不等式上恒成立，其中a、b为实数，求b的取值范围及a与b所满足的关系.简析：本小题考查导数概念的几何意义，函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合的思想判断函数之间的大小关系；考查学生的学习能力、抽象思维能力及综合运用数学基本关系解决问题的能力.（Ⅰ）利用导数的几何意义，写出过切点的切线方程与已知对照：（Ⅱ）构造函数令因为递减，所以递增，因此，当；当.所以是唯一的极值点，且是极小值点，可知的最小值为0，因此即（Ⅲ）解法一：，是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立.对任意成立的充要条件是另一方面，由于满足前述