《无穷小及比较》PPT课件

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1、应用高等数学（06级融资理财1班）主讲：彭如海教授岭南学院江苏科技大学第4讲无穷小量的比较1。5无穷小量与无穷大量1。6无穷小量的比较第一章　函数　极限　连续1。5无穷小量与无穷大量一、无穷小1.定义1。12:极限为零的变量称为无穷小.例如,注意1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;2.零是可以作为无穷小的唯一的数.2.无穷小与函数极限的关系:证必要性充分性意义1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);3.无穷小的运算性质:性质1。1在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.证注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.性质1

2、。2有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证推论1在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小.都是无穷小二、无穷大绝对值无限增大的变量称为无穷大.特殊情形：正无穷大，负无穷大．注意1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;3.无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.不是无穷大．无界，证三、无穷小与无穷大的关系定理在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.证意义关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.四、小结1、主要内容:两个

3、定义;四个定理;三个推论.2、几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（1）无穷小（大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.（3）无界变量未必是无穷大.思考题思考题解答不能保证.例有课堂练习习题1－5）1、2、5第一章　函数　极限　连续1。6无穷小量的比较定义1。14设(x)和b(x)为(x→x0或x→)两个无穷小量.若它们的比有非零极限，若c=1，则称(x)和b(x)为等价无穷小量，则称(x)和b(x)为同阶无穷小.并记为(x)~b(x)，(x→x0

4、或x→).即例如，在x→0时sinx和5x都是无穷小量，且所以当x→0时，sinx和5x是同阶无穷小量.又如，因为在x→0时，x，sinx，tanx，1-cosx，ln(1+x)等都是无穷小量.所以，当x→0时，x与sinx，x与tanx，都是等价无穷小量，x~sinx，x~tanx，ln(1+x)~x.即x与ln(1+x)并且定义1。15设(x)和b(x)为x→x0(或x→)时的无穷小量，则称当x→x0(或x→)时，(x)是b(x)的高阶无穷小量，例如，x2,sinx都是x→0时的无穷小量,且所以，当x→0时，x2是sin

5、x的高阶无穷小量，即x2=o(sinx).或称b(x)是(x)的低阶无穷小量，记为(x)=o(b(x)).若它们的比的极限为零，即定理1。4设(x)~1(x)，b(x)~b1(x)，且存在(或无穷大量)，则也存在或(无穷大量)，并且证由定理条件可知因此有即可仿上面的证法.例1解因为x→0时，ln(1+x)~x，ex-1~x，所以【见上次讲稿例10】例2解因为x→0时，tan5x~5x，所以例3解不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换.注意例4解若直接用x代替tanx及sinx，因为，虽然tanxx，sinx

6、x，但tanx-sinx0则不成立，因此，这里用0代替tanx–sinx是错误的.是错误的.则课堂练习与课外作业课堂练习：习题1－6）1（3）（4）（5）2（4）（9）课外作业：习题1－5）3（1）（4）习题1－6）2（1）（3）（5）