《微积分教案》PPT课件

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1、§8.7二重积分一、二重积分的概念与性质二、二重积分的计算三、积分区域无界的广义二重积分*1曲顶柱体引例1：曲顶柱体的体积2柱体体积=底面积×高特点：平顶.柱体体积=？特点：曲顶.曲顶柱体“分割,求和,取极限”思想的应用求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．3播放求曲顶柱体体积的具体步骤4用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，曲顶柱体的体积平面薄片的质量引例2：平面薄片的质量5将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似看作均匀

2、薄片，所有小块质量之和近似等于薄片总质量二重积分的概念定义：设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数,将闭区域D任意分成n个小闭区域1,2,…,n,其中i表示第i个小区域,也表示它的面积;在每个i上任取一点(i,i),作乘积f(i,i)i(i=1,2,…,n),并作和6;如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时,这和的极限存在,则称此极限为函数在闭区域上的二重积分，记作叫做被积函数,叫做被积表达式,叫做面积元素,与叫做积分变量，叫做积分区域，叫做积分和。关于二重积分定

3、义的说明(1)在二重积分的定义中，对闭区域的划分是任意的.(2)当在闭区域上连续时，定义中和式的极限必存在，即二重积分必存在.(3)在直角坐标系中,若用平行于坐标轴的直线网划分,则7二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数小于零时,二重积分是柱体体积的负值．一般,D上的二重积分等于部分区域上的柱体体积的代数和。D二重积分的性质(1~5)性质18（k为常数）性质2性质3性质4若为D的面积,则性质5若在D上则有特别地:二重积分的性质(6~7)性质6(估值不等式)设M、m分

4、别是f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值,为D的面积,则9性质7(二重积分中值定理)设函数f(x,y)在闭区域D上连续,则在D上至少存在一点(,),使得例题与讲解例：不做计算,估计10其中D是椭圆闭区域解直角坐标下计算二重积分应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法，可以在直角坐标下计算二重积分。X-型积分区域D：11［X－型］其中函数、在区间上连续.X-型积分区域上计算二重积分将二重积分的值看作以D为底,以z=f(x,y)为曲面的“曲顶柱体”体积。12axb应用计算“平行截面面积

5、为已知的立体求体积”的方法,垂直x轴作平行截面。得Y-型积分区域上计算二重积分Y-型积分区域D：13［Y－型］垂直y轴作平行截面其它类型的积分区域X型区域的特点:穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.Y型区域的特点:穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，则必须分割.14在分割后的三个区域上分别使用积分公式例题与讲解例：改变积分15的次序解：积分区域如图例题与讲解例：改变积分16的次序解：积分区域如图例题与讲解例：改变积分17的次序解：原式例题与讲解例：

6、求积分18其中D是由抛物线y=x2和x=y2围成的闭区域。解：例题与讲解例：求积分19其中D是以(0,0)、(1,1)、(0,1)为顶点的三角形区域。解：例题与讲解例：计算积分20解：例题与讲解例：求由下列曲面所围成的立体体积21解曲面围成的立体如图：一个三角形.利用极坐标计算二重积分22极坐标下化二次积分(１)若积分区域特征如下图23例题与讲解例：写出积分24在极坐标下二次积分形式,其中积分区域解极坐标下化二次积分(2)若积分区域特征如下图25极坐标下化二次积分(3)若积分区域特征如下图26极坐标

7、系下区域的面积例题与讲解例：计算27其中D是由中心在原点,半径为a的圆周所围成的闭区域。解例题与讲解(泊松积分)例：求广义积分28解由上例结论以及对称性知例题与讲解例：计算29其中D为由圆及直线所围成的平面闭区域。解例题与讲解例：计算30其中积分区域为解小结二重积分在直角坐标下的计算公式31（在积分中要正确选择积分次序）［Y－型］［X－型］二重积分在极坐标下的计算公式练习(1)32练习(2)33练习(3)34练习解答35练习解答36练习解答37练习解答38练习解答39练习解答40练习解答41练习解答

8、42如图所示练习解答43如图所示练习解答44练习解答45练习解答46练习解答47练习解答48求“曲顶柱体”体积的演示(1)求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．49求“曲顶柱体”体积的演示(2)求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．50求“曲顶柱体”体积的演示(3)求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．51求“曲顶柱体”体积的演示(4)求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动