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《《反常积分》PPT课件(I)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、一、反常定积分二、反常二重积分三、小结3.3反常积分1湘潭大学数学与计算科学学院1.无穷区间上的反常积分成的图形的面积A．解由定积分定义可知，图形面积等于阴影部分图形的面积的极限，即一、反常定积分2湘潭大学数学与计算科学学院定义3.3.1设若存在,则称此极限为f(x)的无穷限反常积分,记作这时称反常积分收敛;如果上述极限不存在,就称反常积分发散.3湘潭大学数学与计算科学学院类似地,若则定义则定义(c为任意取定的常数)只要有一个极限不存在,就称发散.4湘潭大学数学与计算科学学院无穷限的反常积分也称为第一类反常积分
2、.并非不定型,说明:上述定义中若出现它表明该反常积分发散.数，引入记号则有类似牛–莱公式的计算表达式:5湘潭大学数学与计算科学学院6湘潭大学数学与计算科学学院解解由定义，7湘潭大学数学与计算科学学院其中C为常数，而所以，反常积分发散．证当p=1时有8湘潭大学数学与计算科学学院当p≠1时有因此,当p>1时,反常积分收敛,其值为当p≤1时,反常积分发散.9湘潭大学数学与计算科学学院解这是一个反常积分，由于用初等函数表示．的原函数不能因此，利用一元函数反常积分无法计算．现利用二重积分来进行讨论．设由于10湘潭大学数学
3、与计算科学学院此时设11湘潭大学数学与计算科学学院显然由于由3.2节中例题8的结果，有12湘潭大学数学与计算科学学院令上式两端同趋于准则，有由极限的夹逼13湘潭大学数学与计算科学学院例5某种传染病在流行期间人们被传染患病的速度可以近似地表示为人/天，t为传染病开始流行的天数.如果不加控制,最终将会传染多少人？这里r的单位是解依题意，已知速度求总量，就是求速度函数在区间上的积分14湘潭大学数学与计算科学学院其中：即：如果不加控制，最终将会传染到375000人.15湘潭大学数学与计算科学学院2.无界函数的反常积分y
4、=0所围成的图形的面积A．解由定积分定义可知，图形面积等于阴影部分图形的面积的极限，即16湘潭大学数学与计算科学学院记作17湘潭大学数学与计算科学学院即18湘潭大学数学与计算科学学院记作19湘潭大学数学与计算科学学院无界函数的积分又称作第二类反常积分.若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一说明:例如,类间断点,而不是反常积分.则本质上是常义积分,20湘潭大学数学与计算科学学院计算无界函数的反常积分，也可借助于牛顿-莱布尼茨公式.设x=a是f(x)的瑕点，在(a,b]上，则反常积分21湘潭大学数学与计算科学学院类
5、似地，有其中，x=a是f(x)的瑕点，且在(a,b]上，其中，x=b是f(x)的瑕点，且在[a,b)上，22湘潭大学数学与计算科学学院所以是反常积分．解23湘潭大学数学与计算科学学院所以是反常积分．因此24湘潭大学数学与计算科学学院例8证明反常积分证当q=1时,当q<1时收敛;q≥1时发散.当q≠1时所以:当q<1时,该广义积分收敛,其值为当q≥1时,该广义积分发散.25湘潭大学数学与计算科学学院例9计算反常积分解由于故x=a是瑕点，从而26湘潭大学数学与计算科学学院例10设解求是f(x)的无穷间断点,故I为反
6、常积分.27湘潭大学数学与计算科学学院1．无界区域上的反常积分二、反常二重积分28湘潭大学数学与计算科学学院的反常二重积分收敛，否则称反常二重积分发散．构造29湘潭大学数学与计算科学学院则（2）30湘潭大学数学与计算科学学院构造则31湘潭大学数学与计算科学学院则32湘潭大学数学与计算科学学院例11计算反常二重积分其中部分.即解设是以原点为圆心R为半径的圆在第一象限化为极坐标33湘潭大学数学与计算科学学院于是34湘潭大学数学与计算科学学院在第一象限所构成的无界区域．解区域为因此35湘潭大学数学与计算科学学院2．无
7、界函数的反常二重积分定义36湘潭大学数学与计算科学学院如果37湘潭大学数学与计算科学学院这个极限也称为依然记作:如果不存在，则称38湘潭大学数学与计算科学学院解显然区域取那么39湘潭大学数学与计算科学学院因此，当m<2时，当时，发散．40湘潭大学数学与计算科学学院1.反常定积分积分区间无限被积函数无界常义积分的极限说明(1)有时通过换元,反常积分和常义积分可以互相转化.(2)当一题同时含两类反常积分时,应划分积分区间,分别讨论每一区间上的反常积分.2.反常二重积分(与反常定积分类似).三、小结41湘潭大学数学与
8、计算科学学院作业42湘潭大学数学与计算科学学院思考题试证,并求其值.解令43湘潭大学数学与计算科学学院44湘潭大学数学与计算科学学院
