地球重力场及地球形状的基本理论

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1、第三章地球重力场及地球形状的基本理论(4)第六节关于测定垂线偏差和大地水准面差距的基本概念一）关于测定垂线偏差的基本概念1.基本概念1)垂线偏差：地面点重力方向与该点相应椭球面上的法线之间的夹角，用μ表示，子午（南北）分量为ξ，卯酉（东西）分量为η。2)天文大地垂线偏差:根据所采用的椭球不同可分为绝对垂线偏差及相对垂线偏差，垂线同总地球椭球(或参考椭球)法线构成的角度称为绝对(或相对)垂线偏差，它们统称为天文大地垂线偏差。3)天文经度：包含测站垂线的子午面与起始子午面的夹角；4)天文纬度：测站的垂线与赤道面的夹

2、角；5)天文方位角：包含测站垂线的子午面与测站垂线和照准面所张成的垂直面的夹角；6)天文天顶距：测站垂线与观测方向的夹角起始子午面PH天文起始子午面Pλφ★2、球面三角定理ACBbcabcaO★1)、球面正弦定理：★2)、球面边余弦定理：★3)、球面角余弦定理：★4)、球面半角和差定理：★5)、球面半边和差定理：★6)、球面余切定理：★7)、边的正弦与相邻角余弦乘积定理：1、球面三角形(sphericaltriangle)2、球面角超(sphericalexcess)定义球面三角学的基本知识BasicofSpher

3、icalTrigonometryOabcBCA计算公式3、球面三角形公式（单位球）正弦公式（四元素）单位球边的余弦公式（四元素）角的余弦公式（四元素）正余弦公式（五元素）OabcBCA3、球面三角形公式（单位球）余切公式（四元素）正切公式（四元素）3、球面三角形公式（单位球）OabcBCA★8)、角的正弦与相邻边余弦乘积定理：3拉普拉斯方程以测站为中心作单位半径的辅助球，ZO为法线，Z1O为垂线，μ为垂线偏差，η为其在卯酉圈上（东西方向）的分量，ξ为其在子午圈上（南北方向）的分量。1）垂线偏差在任意垂直面上的投影分

4、量：如图：ZM任意方向，大地方位角为A，该方向垂线偏差分量为μA，直角三角形ΔZZ2Z1，ΔZQZ1都是微小三角形，可认为是平面三角形，则有：QA′900-B-ξZZ1PAuu法线铅垂线ηZ'ξGLλZ1PηZ'λ-L90º-ξ-B90º-φZZ1PηZ'ξG90º-ξ-B90º-φλ-L90º-ξ-B90º-φ测站点六、垂线偏差公式（天文经纬度的归算）由正弦定理取得垂线偏差公式由纳白尔规则Z1PηZ'λ-L90º-ξ-B90º-φ六、垂线偏差公式（天文经纬度的归算）ZZ1PAMR1ROμμδ1m法线铅垂线Z'Aθ

5、θ1G可由垂线偏差改正公式求得关键求αPθθ1λ-Lφ90º-ξ-B90º-φ七、天文方位角的归算拉普拉斯方程式拉普拉斯方程式由正弦定理由垂线偏差改正公式Pθθ1λ-Lφ七、天文方位角的归算拉普拉斯方程式2）卯酉圈分量η与子午圈分量ξ的计算在球面直角三角形ΔZ1Z2P中利用球面正弦定理可得：在球面直角三角形ΔZ1Z2P中利用球面余切定理可得：3）天文天顶距Z0与大地天顶距Z的归算公式：由半边差公式有：4）拉普拉斯方程：天文方位角的归算公式由半角和公式有：QA′900-B-ξ即可见，通过垂线偏差把天文坐标和大地坐标联

6、系起来，从而实现两种坐标的转换。4.利用坐标转换公式推导拉普拉斯方程：如图所示：xyz为大地站心坐标系，x1y1z1为天文站心坐标系。两者的关系为：yy1xx1ΔA1天文和大地坐标系分别与原点在站心，坐标轴与三维空间直角坐标系指向相同的坐标系的关系如下：由上面第一式代入第二式得：上式与式相比较，得：1略去高次项，整理得：并得出Laplace方程：顾及天文站心系（x1，y1，z1）与大地站心系（x，y，z）的关系：和天顶距、方位角和站心坐标的关系：将第二式代入第一式，得：将sinα,sinZ1,cosα,cosZ1在

7、A，Z处展开为级数式，并取前两项有：2由第三式，得：由第一式或第二式，顾及上式，并略去高次项得：代入式，并略去二次以上的项，得：2如果椭球短轴不平行与地轴，大地起始子午面不平行大地起始子午面，则还要考虑三个旋转角的影响，此时，大地经纬度和方位角与天文经纬度和方位角的关系可推广为：5测定垂线偏差的基本方法1）天文大地测量方法在天文大地点上，测定其大地坐标（L，B）和其天文坐标（λ，φ），利用下式便可计算该点的垂线偏差：某点的垂线偏差等于在该点处大地水准面与参考椭球面的夹角。它在某一个方向的分量等于该方向上大地水准面与

8、参考椭球面的夹角。AB参考椭球面似大地水准面ζＡζＢΔζδＤ如图GPS基线AB，δ为大地水准面与参考椭球面的夹角，D为A，B两点距离。ζＡ，ζＢ为其高程异常，Δζ=ζＢ-ζＡ，基线方向垂线偏差分量计算公式为：12）GPS测量方法当A，B相距不远时，垂线偏差可认为是呈线性变化，那么有：设δA=δB=δ，则有：只要测出基线长D，大地方位角A，高程异常差Δζ，根据