11.数学分析三大基本思想之分解（New）

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1、本文由SCIbird排版整理数学分析三大基本思想之分解SCIbird说明：鉴于笔者时间和精力有限，文章小错误难免。因此笔者建议读者最好将文章中的结论动手推导一遍，相信必有收获。光看不练，等于白看。本章介绍数学分析中的三大基本思想之分解。需要强调的是，逼近、变换和分解这三大分析基本思想是统一的，在处理数学问题时常常是综合运用。笔者将分解看作这样一种数学思想：将一个复杂的结构或问题，分解成若干子结构，使得这些子结构尽可能简单。若按照广义理解，从一个复杂问题中分离出主要矛盾，这也是一种分解思想。前者的例子可以考虑幂

2、级数分解，如考虑超越函数z112nezz=++1++LLz+2!n!z如此将一个复杂的超越函数e分解成幂级数形式，而幂级数可以看做多项式的n推广，而我们对子结构z非常熟悉（可类比整数的加减乘除运算）。实际上，幂级数是研究超越函数的有力工具。当然我们也可以使用Fourier级数，或者其它函数级数。后者的例子可以考虑微分，考虑函数增量Δ=yfxxfx()+Δ−()，数学上证明了对可导函数，有Δ=yfxxox′()Δ+Δ()Δy的线性主部记为dy=Δfx′()x（微分），dy对Δy的贡献较大，属于主要矛盾。如此，我

3、们从一个非线性增量中，分离出线性部分，达到简化问题的目的。这个例子很平凡，但却很实用，特别在物理分析中（如微元法）。很多宏观物理过程在短时间内或小尺度范围内变化很小，可以近似为线性过程。数学上已经证明了非初等函数是大多数，而研究非初等函数的常见途径有三个，即积分法（如含参数积分）、微分方程法和级数法（特别是幂级数法）。从实用角度看，级数法更方便，比如利用幂级数进行数值计算。用级数研究非初等函数的著名例子是椭圆函数。当年高斯和阿贝尔提出了研究椭圆积分的反函数，后称椭圆函数，这种函数有两个不共线的复周期ωω,12

4、本文由SCIbird排版整理满足f()()(zf+=+=ωωzfz)。与历史不同，现在教材上直接定义具有不共12线的复周期ωω,的亚纯函数为椭圆函数。12那么能不能不利用积分反演，直接构造双周期的椭圆函数。直观上不难想象，椭圆函数的所有周期是复平面上一些格子（周期格）Λ=+{

5、mnmωω,n∈Z}12其中复数ω和ω是实线性无关的。12那么形式上，如下函数满足双周期性：∑ϕω()z−或∏ϕω()z−ω∈Λω∈Λ这里函数ϕ待定。之所以强调是形式上，是因为要使得上面的函数有意义，还要考虑收敛性问题。椭圆函数中最有名

6、的要数魏尔斯特拉斯椭圆函数：11⎡1⎤℘=+()z2∑⎢⎢−22−⎥⎥zz0≠∈ωΛ⎣()ωω⎦据说，这种形式的构造类比了余切级数展开（欧拉等式）∞⎛⎞111ππcotz=+∑⎜⎜+⎟⎟zzn=1⎜⎝⎠+−nzn⎟注：数学上可以证明非常数椭圆函数在一个周期四边形内必有奇点，且阶数至少是二（证明见《特殊函数概论》），℘()z的构造选择了一个二阶极点的情形（不妨设z=0为二阶极点）。于是根据椭圆函周期性要求，可知z=ω为二重极点。再由上面形式级数的思想，考察下列函数就自然了：1∑20∈Λ()z−ω2但是这个级数不

7、收敛，所以为满足收敛性还得再减去一项1/ω.当ω=0这种情22况下，1/ω发散，所以应该剔除，同时把1/z单独写出来。于是级数11⎡1⎤℘=+()z2∑⎢⎢−22−⎥⎥zz0≠∈ωΛ⎣()ωω⎦本文由SCIbird排版整理是收敛的，具有二阶极点，且满足℘+=℘+=℘()()(zzzωω).12℘()z的导数℘′()z也是椭圆函数，它们之间满足上面的微分方程23℘=′()zz4()℘+g℘+()zg23℘()z和℘′()z也所以非常重要，是因为它们不仅形式简单，还可以作为“基函数”，这种基函数分解思想（当然不是

8、线性的）可以由下述定理描述：设℘()z的周期为ωω,，则所有以ωω,为双周期的椭圆函数1212f()()(zf+=+=ωωzfz)12都可以表示成下列形式f()zHz=℘+(())℘′()(())zQz℘其中，HzQz(),()为有理函数，与f()z有关。有了这个定理，研究椭圆函数的重点可以放在研究基函数℘()z和℘′()z上，这是利用分解思想，缩小问题范围的经典例子。分解思想在数学中非常普遍（不仅仅是数学分析），我们在证明一个复杂数学定理时，常常分成若干引理（如前面章节多次提到的重积分变量代换定理），这其实

9、应用了分解思想。学会如何把一个复杂问题简化，拆成若干简单问题，这是一门真功夫，需要能力和经验的积累。分解思想的重要性还体现在可操作性上。数学上很多定义逻辑上很抽象，也很完备，但单靠定义是无法操作的。比如重积分的Riemann和定义，如果靠重积分的Riemann和定义来计算，甚至证明数学定理，恐怕举步维艰。累次积分就应运而生∫∫f(,)xydxdy=∫dx∫fxydy(,)XY×XY累次积分的妙处还在