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1、精品课程《数学分析》课外训练方案第20章曲线积分一、基本概念1、第一型曲线积分的定义设L为平面上可求长的曲线段，f(x,y)为定义在L的函数，对曲线L作分割T，它把L分割为n格可求长度的小曲线段L（i=1,L,n），L的弧长记为∆s，分割T的细度为T=max∆s，在L上任取一点iiiii1≤i≤n(ξ,η)（i=1,L,n）。若有极限iinlim∑f(ξi,ηi)∆si=JT→0i=1存在，并且J与分割T和点(ξ,η)的选取无关。则称此极限为f(x,y)在L上的第一型曲线积分，记作ii∫Lf(x,y)ds。2、第一型曲线积分的计算⎧
2、x=ϕ(t)定理:设有光滑曲线L:⎨，t∈[α,β]，函数f(x,y)为定义在L上的连续函数，则⎩y=ψ(t)β'2'2∫∫f(x,y)ds=f(x(t),y(t))ϕ(t)+ψ(t)dtLα3、第二型曲线积分设函数P(x),Q(x)定义在平面有向可求长度曲线L上。对L的任一分割T,它把T分为n个小弧段MM（i=1,L,n），其中M=A，M=B。记各小曲线段MM的弧长为∆s,T=max{∆s},i−1i0ni−1iii1≤i≤n并记∆x=x−x,∆y=y−y,（i=1,L,n），又设任意(ξ,η)∈MM,若极限iii−1iii−1i
3、ji−1innlim∑P(ξi,ηi)∆xi+lim∑Q(ξi,ηi)∆yiT→0T→0i=1i=1存在且与分割T与点(ξ,η)的取法无关,则称此极限为函数P(x),Q(x)沿有向线段L上的第二型曲线积分,ij记为∫Pds+Qdy。L4、第二型曲线积分的计算⎧x=ϕ(t)设平面曲线L:⎨，t∈[α,β]，其中ϕ(t)，ψ(t)在[α,β]上具有一阶连续导函数，且点A与B⎩y=ψ(t)的坐标分别为(ϕ(α),ψ(α))和(ϕ(β),ψ(β))。又设P(x),Q(x)为L的连续函数，则沿L从A到B的第二型1精品课程《数学分析》课外训练方
4、案β''曲线积分∫Pds+Qdy＝∫[P((ϕ(t),ψ(t))ϕ(t)+Q(ϕ(t),ψ(t))ψ(t)]dt。Lα二、基本方法和基本要求（会）利用公式β'2'2∫∫f(x,y)ds=f(x(t),y(t))ϕ(t)+ψ(t)dtLα和β''∫Pds+Qdy＝∫[P((ϕ(t),ψ(t))ϕ(t)+Q(ϕ(t),ψ(t))ψ(t)]dtLα计算第一型和第二型曲线积分。三、典型例题2222例1求∫(xy+yz+zx)ds，其中L是球面x+y+z=a与平面x+y+z=0的交线。L1解法1∫(xy+yz+zx)ds=∫2(xy+yz+z
5、x)ds2LL12222=∫[(x+y+z)−(x+y+z)]ds2L2−1222−a3=∫(x+y+z)ds=∫ds=−πa22LL2222解法2求曲线L的参数方程。由x+y+z=a，x+y+z=0消去y，得2222x+(x+z)+z=a2z2a322即(x+)=(1−z)，令z=asint，则2222a32za32aax=−±(1−z)=±cost−sint2222a26aay=−(x+z)=mcost−sint26于是得到两组参数方程2精品课程《数学分析》课外训练方案aaaax=cost−sintx=−cost−sint262
6、6aaaay=−cost−sint，y=cost−sint262622z=asintz=asint33我们可任选一组，例如第一组。显然，被积函数和L都具有轮换对称性，则∫(xy+yz+zx)ds=3∫zxdsLL2π21222=3a∫sint(cost−sint)x′(t)+y′(t)+z′(t)dt032π2π31323=3a∫sint(cost−sint)dt=−a∫sintdt=−πa030解法3作坐标旋转。就坐标是(x,y)，新坐标是(X,Y)，旋转角为θ，则旋转变换的一般公式为x=Xcosθ−Ysinθ，y=Xsinθ+Y
7、cosθr11因为平面x+y+z=0的单位法矢为n={1,1,1}，则它与z轴的夹角余弦为cosφ=。下面分两33π步进行旋转，先将Oxy平面旋转，得新坐标系Ou′vz；再将Ozu′平面旋转φ，得新坐标系Ouvw。即4OxyzOu′vzOuvw由旋转公式得1x=(u′−v)z=wcosφ−usinφ21y=(u′+v)u′=wsinφ+ucosφ21于是得x=(ucosφ−v+wsinφ)21y=(ucosφ+v+wsinφ)2z=wcosφ−usinφ3精品课程《数学分析》课外训练方案22222222在这组变换下，曲线L：x+y+
8、z=a，x+y+z=0变为u+v+w=a，w=0，故33222∫(xy+yz+zx)ds=3∫xyds=∫(ucosφ−v)(ucosφ+v)ds=∫(ucosφ−v)ds22LLLL2π12212223323=∫(u−3v)ds=∫
