数学分析 (19)new

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1、精品课程《数学分析》课外训练方案第二十一章重积分一、基本概念1、二重积分的定义设f(x,y)是定义在可求面积的有界闭区域D上的函数。J式一个确定的常数，若对任意的正数ε，总存在某个正数δ，使对于D的任何划分T，当它的细度T<δ时，属于T的所有积分和都有n∑f(ξi,ηi)∆σi−J<εi=1则称f(x,y)在区域D上可积，数J称为f(x,y)在D上的二重积分，记作J=∫∫f(x,y)dσ。D注：（1）有界闭区域D上的连续函数必可积；（2）设f(x,y)是定义在有界闭区域D上的有界函数。若f(x,y)的不

2、连续点都落在有限条光滑曲线上，则f(x,y)在区域D上可积。2、直角坐标系下二重积分的计算d定理1：设函数f(x,y)在矩形区域D=[a,b]×[c,d]上可积，且对每一个x∈[a,b]，积分∫f(x,y)dycbdbd存在，则累次积分∫adx∫cf(x,y)dy也存在，且∫∫f(x,y)dσ＝∫adx∫cf(x,y)dy。Db定理2：设函数f(x,y)在矩形区域D=[a,b]×[c,d]上可积，且对每一个y∈[c,d]，积分∫f(x,y)dxadbdb存在，则累次积分∫cdy∫af(x,y)dx也存在

3、，且∫∫f(x,y)dσ＝∫cdy∫af(x,y)dx。D3、格林公式：若函数P(x,y)，Q(x,y)在闭区域D上连续，且有连续的一阶偏导数，则有⎛∂Q∂P⎞∫∫⎜⎜−⎟⎟dσ=∫LPdx+QdyD⎝∂x∂y⎠这里L为区域D的边界曲线，并取正方向。等价定理：设D式单连通区域。若函数P(x,y)，Q(x,y)在D内连续，且有连续的一阶偏导数，则以下四个条件等价：（1）沿D内任一光滑封闭曲线L，有∫LPdx+Qdy=0；（2）沿D内任一按段光滑曲线L，曲线积分∫Pdx+Qdy与路线无关，只与L的起点和终点

4、有关；L1精品课程《数学分析》课外训练方案（3）Pdx+Qdy是D内某一函数u(x,y)的全微分，即在D内du=Pdx+Qdy；∂P∂Q（4）在D内处处成立=。∂y∂x4、三重积分定义3设A=×[,ab][c,d]×[e,f]是R中的（闭）长方体，f是定义在A上的有界函数。（1）分割：用平面x==xi:0,1,LL,na=x

5、{,,xLL,x;y,y,,y;z,z,L,z}，并记01mm0101l222A=×[,xx][y,y]×[z,z]，d=A的对角线长度=()xx−+(y−y)+(z−z)ijki−−11ijjk−1kijkijkii−−11jjkk−1dd=max∆=xxx−,∆y=y−y,∆z=z−zijkiii−−11jjjkkk−11≤≤im1≤≤jn1≤≤kl（2）求和：在每一个A内任意取一点(,ξηζ,),作Riemann和:ijkijkmnl∑∑∑f(,ξηij,ζk)∆xyi∆∆jkz=Sij==11k

6、=1（3）取极限：如果limS存在,并且此极限与分划P无关,又与点(,ξηζ,)在A内的取法无关,则称f在A上ijkijkd→0Riemann可积(简称可积),并记这一极限为∫∫∫f(,xy,z)dxdydz,or∫∫∫f，称之为f在A上的三重积分。AA5、三重积分的变量替换设在三重积分∫∫∫f(,xy,z)dxdydz作变量替换：Dxx=(,uv,ω){yy=(,uv,ω)(,uv,ω)∈D'zz=(,uv,ω)又设这一代换是正侧的，那满足下列条件：（1）建立了D↔D'之间的一一对应；（2）x,y,z

7、在D'内有关于uv,,ω的连续偏导数，并且其通变换：u=u(,xy,z),v==v(x,y,z),ωω(,xy,z)在D内有关于xy,,z的连续偏导数；2精品课程《数学分析》课外训练方案xxxuvω∂(,xy,z)（3）Jacobin行列式Jy==yy在D'内无零点，则uvω∂(,uv,ω)zzzuvω∫∫∫f(,xy,z)dxdydz=∫∫∫f(x(u,,vω),y(u,v,ωω),z(u,,v))JdudvdωDD'即把xyz坐标系下的三重积分化为uvw坐标系下的三重积分。和二重积分类似，当J点在D

8、'内个别点上为零时，上述公式仍成立。特别地有：1）球坐标系代换：xy==ρsinϕθcos,ρsinϕsinθ,z=ρcosϕ，2

9、

10、J=≤ρsinϕρ(0<+∞,0≤ϕ≤π,0≤θ≤2π)2∫∫∫f(,xy,z)dxdydz=∫∫∫f(ρsinϕθcos,ρsinϕsinθ,ρcosϕ)ρsinϕddθϕdρDD'222其中，02≤≤θπϕ,0≤≤π,0≤ρ<+∞。适用于积分公式或被积函数是f()xy++z型。∂(,xyz,)2）柱坐标代