事件的独立性与伯努利概型

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1、1§1.7事件的独立性与伯努利概型2一、事件的独立性两个事件相互独立是指其中一个事件的发生不影响另一个事件的发生．例如，抛掷一枚硬币两次，A=“第一次出现正面”，B=“第二次出现反面”.显然，A的发生不影响B的发生，反之亦然.3上述意思翻译成概率语言即为且但只要其中的条件概率有意义，上面两个式子相互等价(参见习题1.44)．4关于两个事件的相互独立性定义：对于任意两个事件A和B，若则称A与B相互独立.5事件独立的一个例子6例1.27将一枚匀称硬币抛掷三次，观察正A与B相互独立．反面朝上的试验的样本空间为设A=“前两次出现正面”={HHH，HH

2、T}；B=“第三次出现反面”={HHT，HTT，THT，TTT}；C=“前两次出现反面”={TTH，TTT}．◎AB={HHT}7关于独立性的几个注记A与C不相互独立．1º两个事件相互独立的本质含义：其中一个事件发生与否不影响另一个事件的发生．A与B相互独立82ºＡ与任何事件Ｂ都相互独立；Ａ与任何事件Ｂ都相互独立.证关于第一个蕴涵式．及概率的由从而都与任何事件相互独立．单调性知9关于第二个蕴涵式．从而于是由及概率的单调性知3º相互独立与互不相容没有必然联系．有关，后者的定义没有借助概率．从定义来看，A与B独立而A与B互不相容前者的定义与概率1

3、0事件相互独立与互不相容的关系11事件中，若其中有一对事件相互独立，则其它三对事件也分别相互独立．12例1.28甲、乙两射手彼此独立地向同一目标各射击一次，甲射中目标的概率为0.8，乙射中目标的概率为0.7，问目标被击中的概率是多少?解设A=“甲射中目标”，B=“乙射中目标”，即求两个相互独立事件并的概率．13关于三个事件的相互独立性定义对于任意三个事件A，B，C，若下述四个等式同时成立，则称A，B，C相互独立．14关于任意有限多个事件的相互独立性的定义15◎当3个及以上的事件相互独立时，则它们两两相互独立.但反过来不成立．◎n个事件相互独立

4、，需要同时成立，则称相互独立．个等式来保证．16例1.29将一枚匀称硬币抛掷两次，观察正反面朝上的试验的样本空间为设A=“第一次出现正面”={HH，HT}，B=“二次出现正面”={HH，TH}，C=“正、反面各出现一次”={HT，TH}．经过一些简单计算得17故A，B，C两两相互独立但不相互独立．18需要说明的是，我们一般不是根据定义来判断事件的独立性，而是从实际问题出发，如果事件之间无甚关联，则认为这些事件之间是独立的，然后利用独立性的公式来计算概率.19利用事件的独立性计算概率注1设事件相互独立，则20注2对立事件后所得的n个事件也相互独

5、立。中的任意部分事件换成各自的注321思考题设A,B,C相互独立，证明：A+B与C，AB与C,A-B与C也相互独立.22注4设事件相互独立，则23二、伯努利概型伯努利概率模型，简称伯努利概型始于雅格布·伯努利的研究．雅格布·伯努利(1654－1705)率为p的伯努利试验．如果一个试验只有两个可能结果：且则称这个试验为成功概和24试验序列为n重伯努利试验．结果都不依赖于其它各次试验的结果，则称这n次将一个伯努利试验重复进行n次，若每次试验求：在一个每次成功的概率为p的n重伯努利试验中，恰好成功k次的概率.25在n次试验中A在指定的k次中发生的概

6、率都是：26伯努利公式27由二项式展开定理得，n次的概率总和为1．它表示n重伯努利试验中成功0次，1次，…，（至少成功一次的概率）（至少成功m次的概率）28解在任一时刻，考察一名售货员是否使为成功，否则视为失败，从而每次试验成功的用台秤相当于作一次试验，如果使用台秤则视概率为:p=15/60=1／4．例1.30店内有4名售货员，根据经验每名售货员平均在一小时内只用秤15分钟，若店内只有1个台秤，求任一时刻台秤不够用的概率．现同时考察4名售货员使用台秤的情况，因此这是每次成功概率为1／4的4重伯努利试验．29所谓“台秤不够用”是指同时至少有2名

7、售货员要使用台秤，即至少成功两次．由伯努利公式，所求概率为：30例1.31某机构有一个5人组成的顾问小组，若每个顾问贡献正确意见的概率为0.9，现在该机构对某事可行与否个别征求各位顾问的意见，并按多数的意见作出决策，求作出正确决策的概率．解考察一位顾问的意见，相当于作一次试验，如果他贡献正确意见则视为成功，否则视为失败，从而每次试验成功的概率为:p=0.9.因此，这是每次成功概率为0.9的5重伯努利试验．31这个概率几乎接近百分之百了，决策错误的可能性是很小的．所以，“少数服从多数”和“民主集中制”原则蕴藏深刻的概率道理．的意见正确作出正确决

8、策的充分必要条件是大多数顾问由伯努利公式，所求概率为：（即至少成功3次）.32例1.32在战争进入攻坚战时，需要打击敌方的一个目标．设每个人击中目标的概率都是0.6